https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2022/SuIII

2022.02.27記

[3] 自然数 $m,n$ が $n^4=1+210m^2\cdots [1]$
をみたすとき，以下の問いに答えよ。

(1) $\dfrac{n^2+1}{2}$ ， $\dfrac{n^2-1}{2}$ は互いに素な整数であることを示せ。

(2) $n^2-1$ は168の倍数であることを示せ。

(3) [1] をみたす自然数の組 $(m,n)$ を1つ求めよ。

2022.02.27記
東大、京大、九大とユークリッドの互除法はやってんなぁ。

隣合う自然数は互いに素は有名。

[解答]

(1) [1] の右辺は奇数であるから，左辺の $n^4$ は奇数となり，よって $n$ は奇数である．よって
$\dfrac{n^2+1}{2}$ ， $\dfrac{n^2-1}{2}$ はともに整数である．

ここでユークリッドの互除法により
$\mbox{gcd}\left(\dfrac{n^2+1}{2},\dfrac{n^2-1}{2}\right)$ $=\mbox{gcd}\left(1,\dfrac{n^2-1}{2}\right)$
$=1$
だから，この2つ自然数は互いに素．

(2) $n$ は奇数により $n=2k+1$ とおき， $N=\dfrac{n^2-1}{2}$ とおくと，
$N=2k(k+1)$ は連続2整数の積の2倍であるから4の倍数である．

$\mbox{mod}\,3$ で考えると，
$k\equiv 0$ で $N\equiv 0$ ， $N+1\equiv 1$ ，
$k\equiv 1$ で $N\equiv 1$ ， $N+1\equiv 2$ ，
$k\equiv 2$ で $N\equiv 0$ ， $N+1\equiv 1$ ，
となるので， $N(N+1)\equiv 0$ から $N\equiv 0$ でなければならない．つまり， $N$ は 3の倍数。

次に $\mbox{mod}\,7$ で考えると，
$k\equiv 0$ で $N\equiv 0$ ， $N+1\equiv 1$ ，
$k\equiv 1$ で $N\equiv 4$ ， $N+1\equiv 5$ ，
$k\equiv 2$ で $N\equiv 5$ ， $N+1\equiv 6$ ，
$k\equiv 3$ で $N\equiv 3$ ， $N+1\equiv 4$ ，
$k\equiv 4$ で $N\equiv 5$ ， $N+1\equiv 6$ ，
$k\equiv 5$ で $N\equiv 4$ ， $N+1\equiv 5$ ，
$k\equiv 6$ で $N\equiv 0$ ， $N+1\equiv 1$ ，
となるので， $N(N+1)\equiv 0$ から $N\equiv 0$ でなければならない．つまり， $N$ は 7の倍数。