https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2022/SuIII

2022.02.27記

[2] $n$ を3以上の自然数， $\alpha,\beta$ を相異なる実数とするとき，以下の問いに答えよ。

(1) 次をみたす実数 $A,B,C$ と整式 $Q(x)$ が存在することを示せ。
$x^n$ $=(x-\alpha)(x-\beta)^2Q(x)$ $+A(x-\alpha)(x-\beta)$ $+B(x-\alpha)$ $+C$

(2) (1) の $A,B,C$ を $n,\alpha,\beta$ を用いて表せ。

(3) (2) の $A$ について， $n$ と $\alpha$ を固定して， $\beta$ を $\alpha$ に近づけたときの極限 $\displaystyle\lim_{\beta\to\alpha} A$ を求めよ。

2022.02.27記
球面倶楽部零八式markIISR 本館で，行列 $X$ の指数関数 $\exp X$ について、今月（2022年2月）に何度も書いてあるが，固有多項式が $(x-\alpha)(x-\beta)^2$ のときに，行列のべき乗 $X^n$ をケーリー・ハミルトンの定理によって次数下げした結果が本問の結果に対応し， $X^n=A(X-\alpha I)(X-\beta I)+B(X-\alpha I)+C I$
（ $A,B,C$ は大文字だけど実数で， $I$ は単位行列）が成立する．

もちろん， $\beta$ を $\alpha$ に近づけた極限は，多項式関数の連続性から $(x-\alpha)^3$ で割った余りに収束するので，テーラー展開を思い出すと， $A\to \dfrac{n(n-1)\alpha^{n-2}}{2}$ となることがわかる．

[大人の解答]

(1) $x^n$ を1次式 $x-\alpha$ で割った商と余りは存在し，余りは実数である．この商を $P_1(x)$ ，実数である余りを $C$ とする．

$P_1(x)$ を1次式 $x-\beta$ で割った商と余りは存在し，余りは実数である．この商を $P_2(x)$ ，実数である余りを $B$ とする．

$P_2(x)$ を1次式 $x-\beta$ で割った商と余りは存在し，余りは実数である．この商を $Q(x)$ ，実数である余りを $A$ とする．

このとき，実数 $A,B,C$ と整式 $Q(x)$ を用いて
$x^n$ $=(x-\alpha)(x-\beta)^2Q(x)$ $+A(x-\alpha)(x-\beta)$ $+B(x-\alpha)$ $+C$
と表現することができるので，題意は示された．

(2) $f(x)=x^n$ とおく．
2次関数 $y=A(x-\alpha)(x-\beta)$ $+B(x-\alpha)$ $+C$ は $y=f(x)$ に $x=\beta$ で接し， $x=\alpha$ で交わる2次関数である．

$(\alpha,f(\alpha))$ ， $(\beta,f(\beta))$ を通ることから，Newton の補間公式を用いると
$y=A(x-\alpha)(x-\beta)+\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}(x-\alpha)+f(\alpha)$
と書けるので，
$B=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ $=\dfrac{\beta^n-\alpha^n}{\beta-\alpha}$
であり，
$C=f(\alpha)$ $=\alpha^n$
である．

また， $x=\beta$ で接することからテーラー展開を利用すると，
$y=A(x-\beta)^2+f'(\beta)(x-\beta)+f(\beta)$
の形をしているので，
$A(x-\alpha)(x-\beta)+\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}(x-\alpha)+f(\alpha)$
$=A(x-\beta)^2+f'(\beta)(x-\beta)+f(\beta)$
が $x$ の恒等式となる．この $x$ の係数を比較すると
$-(\alpha+\beta)A+\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ $=-2\beta A+f'(\beta)$
から
$A$ $=\dfrac{f'(\beta)}{\beta-\alpha}-\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{(\beta-\alpha)^2}$ $=\dfrac{n\beta^{n-1}}{\beta-\alpha}-\dfrac{\beta^n-\alpha^n}{(\beta-\alpha)^2}$
となる．

(3) $A=\dfrac{f'(\beta)}{\beta-\alpha}-\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{(\beta-\alpha)^2}$ $=\dfrac{f'(\beta)(\beta-\alpha)-f(\beta)+f(\alpha)}{(\beta-\alpha)^2}$ である． $\beta$ を変数として，コーシーの平均値の定理から
$A=\dfrac{f''(c)(c-\alpha)}{2(c-\alpha)}=\dfrac{f''(c)}{2}$ なる $c$ が $\alpha$ と $\beta$ の間に存在する．よって
$\displaystyle\lim_{\beta\to\alpha} A$ $=\displaystyle\lim_{\beta\to\alpha} \dfrac{f''(c)}{2}$ $=\dfrac{f''(\alpha)}{2}$ $=\dfrac{n(n-1)\alpha^{n-2}}{2}$

$x$ の係数を比較したが， $\beta\neq 0$ の場合は定数項を比較しても良い。定数項を比較するには $x=0$ を代入すれば良い。
$\beta=0$ のときに定数項の係数比較が無意味なのは， $\beta=0$ のときは， $A$ を含む項が定数項には1つも登場しないからである。

(前略)

$A(x-\alpha)(x-\beta)+\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}(x-\alpha)+f(\alpha)$
$=A(x-\beta)^2+f'(\beta)(x-\beta)+f(\beta)$
が $x$ の恒等式となる．この定数項を比較すると
$\alpha\beta A-\alpha \dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}+f(\alpha)$ $=\beta^2 A-\beta f'(\beta)+f(\beta)$
から
$\beta(\beta-\alpha)A=\beta f'(\beta)-\beta\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$
となり， $\beta\neq 0$ から
$A$ $=\dfrac{f'(\beta)}{\beta-\alpha}-\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{(\beta-\alpha)^2}$ $=\dfrac{n\beta^{n-1}}{\beta-\alpha}-\dfrac{\beta^n-\alpha^n}{(\beta-\alpha)^2}$
となる．

(後略)

テーラー展開の式
$y=A(x-\beta)^2+f'(\beta)(x-\beta)+f(\beta)$
と， $(\alpha,f(\alpha))$ を通ることから
$f(\alpha)=A(\alpha-\beta)^2+f'(\beta)(\alpha-\beta)+f(\beta)$
が得られるので，これから $A$ の値を求めても良い．

また，Newton の補間公式
$y=A(x-\alpha)(x-\beta)+\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}(x-\alpha)+f(\alpha)$
と $y'|_{x=\beta}=f'(\beta)$ から
$f'(\beta)=A(\beta-\alpha)+\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$
が得られるので，これから $A$ の値を求めても良い．

(3) は $A=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{(\alpha-\beta)^2}-\dfrac{n\beta^{n-1}}{\alpha-\beta}$
$=\dfrac{(\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}\beta+\cdots + \alpha\beta^{n-2}+\beta^{n-1})-n\beta^{n-1}}{\alpha-\beta}$
$=\dfrac{(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})+\beta(\alpha^{n-2}-\beta^{n-2})+\cdots+\beta^{n-2}(\alpha-\beta)}{\alpha-\beta}$
$=\alpha^{n-2}+2\alpha^{n-3}\beta+3\alpha^{n-4}\beta^2+\cdots +(n-1)\beta^{n-2}$ ]
であるから， $A\to \{1+2+\cdots + (n-1)\}\alpha^{n-1}$ $=\dfrac{n(n-1)}{2}\alpha^{n-2}$
（ $\beta\to\alpha$ ）
としても良い．