https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2022/SuIIB

2022.03.05記

[3] $k$ を実数とし，整式 $f(x)$ を
$f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64$
で定める。方程式 $f(x)=0$ が虚数解をもつとき，以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ は $x-2$ で割り切れることを示せ。

(2) 方程式 $f(x)=0$ は負の実数解をもつことを示せ。

(3) 方程式 $f(x)=0$ のすべての実数解が整数であり，すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとする。このような $k$ をすべて求めよ。

2022.03.05記

[解答]

(1) $f(x)=(x-2)\{x^3+8x^2+(16-k)x+32\}$ と因数分解できるので， $f(x)$ は $x-2$ で割り切れる。

(2) $f(x)=0$ は実数係数であるから， $f(x)=0$ の虚数解を $x=\alpha$ とすると，共役複素数 $x=\bar{\alpha}$ も解である．このとき，4次方程式 $f(x)=0$ の解は $2,\alpha,\bar{\alpha}$ 以外にもう1つあるので，それを $\beta$ とすると，3次方程式 $x^3+8x^2+(16-k)x+32=0$ の3解が $\alpha,\bar{\alpha},\beta$ となる．

3次方程式 $x^3+8x^2+(16-k)x+32=0$ の解と係数の関係の定数項をみることにより， $\alpha\bar{\alpha}\beta=|\alpha|^2\beta=-32$ となるので， $\beta=-\dfrac{32}{|\alpha|^2}$ は負の実数である．

(3) $\alpha=p+qi$ ， $\bar{\alpha}=p-qi$ （ $p,q$ は整数で $q\gt 0$ ）とおくと，
$\beta=-\dfrac{32}{p^2+q^2}$ であるから，
$p^2+q^2=1,2,4,8,16,32$ となるので
$(p,q,\beta)=(0,1,-32)$ ， $(\pm 1,1,-16)$ ， $(0,2,-8)$ ， $(\pm2,2,-4)$ ， $(0,4,-2)$ ， $(\pm4,4,-1)$
となる．これらの中で，3次方程式 $x^3+8x^2+(16-k)x+32=0$ の解と係数の関係の $x^2$ の係数をみることにより，
$\alpha+\bar{\alpha}+\beta=2p+\beta=-8$ ，
つまり
$2p+\beta=-8$
をみたすものは
$(p,q,\beta)=(0,2,-8)$ ， $(-2,2,-4)$
であり，これらについて 3次方程式 $x^3+8x^2+(16-k)x+32=0$ の解と係数の関係の $x$ の係数をみることにより，
$\alpha\bar{\alpha}+\beta(\alpha+\bar{\alpha})$ $=p^2+q^2+2p\beta=16-k$ ，
つまり
$k=16-2p\beta+\dfrac{32}{\beta}$
を計算すると $k=12,-8$ となる．

(2) でどのみち， $f(x)$ を因数分解するので，(1) は組立除法などで実際に割り算するのが吉。