https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2021/Rikei

[3]

座標平面上の点 $(x, y)$ について，次の条件を考える．

条件：すべての実数 $t$ に対して $y\leqq e^t -xt$ が成立する． $\cdots\cdots(\ast)$

以下の問いに答えよ．必要ならば $\displaystyle\lim_{x\to +0} x\log x = 0$ を使ってよい．

(1) 条件 $(\ast)$ をみたす点 $(x,y)$ 全体の集合を座標平面上に図示せよ。

(2) 条件 $(\ast)$ をみたす点 $(x,y)$ のうち， $x\geqq 1$ かつ $y\geqq 0$ をみたすもの全体の集合を $S$ とする． $S$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

2021.03.17記

[解答]

(1) $f(t)=e^t-xt-y\geqq 0$ がすべての実数 $t$ について成立すれば良いので， $f(t)$ の最小値が正であることが必要十分である． $f'(t)=e^t-x$ であるから，

(i) $x\leqq 0$ のとき任意の実数 $t$ について $f'(t)\gt 0$ であるから， $x\to-\infty$ の極限を考えて
(a) $x\lt 0$ のとき $\displaystyle\lim_{t\to-\infty} f(t)=-\infty$
(b) $x=0$ のとき $\displaystyle\lim_{t\to-\infty} f(t)=-y$
だから，「 $x=0$ かつ $y\leqq 0$ 」が必要十分条件

(ii) $x\gt 0$ のとき，下に凸な $e^t$ の $t=\log x$ における接線の式は $x(t-\log x)+x$ だから任意の実数 $t$ について $e^t\geqq x(t-\log x)+x$ が成立する．

よって $f(t)\geqq x-x\log x-y（等号は t=\log x）$ となり， $f(t)$ の最小値が正または0であることから，「 $x\gt 0$ 」かつ $y\leqq x-x\log x$ 」となる．

以上から求める領域は $x\geqq 0$ かつ $y\leqq x-x\log x$ となる．但し， $\displaystyle\lim_{x\to +0} x\log x = 0$ を使っている．

（図示略）

(2) $V=\displaystyle\int_1^e(x-x\log x)^2dx$ である.
$e^u= x$ と置換すると $e^u du = dx$ だから
$V=\displaystyle\int_0^1 (e^u-xe^u)^2 e^u du$ $=\displaystyle\int_0^1 (x-1)^2 e^{3u} du$ $=\Bigl[ \Bigl\{\dfrac{(x-1)^2}{3}-\dfrac{2(x-1)}{9}+\dfrac{2}{27}\Bigr\} e^{3u}\Bigr]_0^1$ $=\dfrac{2}{27}e^3-\dfrac{17}{27}$

$\displaystyle\int f(x) e^{kx} dx$ $=\displaystyle e^{kx} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{f^{(n)}}{k^{n+1}}$
という公式を使って計算して良いか？ということだが

計算しても良いが一箇所でも間違えていると部分点はもらえない．

と考えるのが妥当だろう．なお，この公式自体は1938年発行の高木貞治の解析概論にも載っているし、それより古い1931年発行の高須鶴三郎の微積分学深義2巻にも載っている歴史のある公式である．