https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2021/Kouki

[5]

$f(x)$ を次の条件を満たす3次の多項式とする．

(a) $x^3$ の係数は1である．
(b) $0,1,-1$ ではない複素数 $\omega$ が存在して，すべての自然数 $n$ について $f(\omega^n)=0$ となる．

以下の問いに答えよ．

(1) $\omega=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} i$ または $\omega=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} i$ であることを示せ．ただし， $i$ は虚数単位とする．

(2) $f(x)$ を求めよ．

(3) $g(x)$ を次の多項式とする．
$g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{2021} x^n$ $=x^{2021}+x^{2020}+\cdots+1$

$g(x)$ を $f(x)$ で割ったときの余りを求めよ．

2021.03.17記

[解答]

(1) 任意の $n$ について $\omega^n$ が3次方程式 $f(x)=0$ の解となるので， $\omega^n$ がとりうる値は3種類以下である．

$\omega^2=\omega$ の解は $\omega=0,1$ ，
$\omega^3=\omega$ の解は $\omega=-1,0,1$ ，
$\omega^3=\omega^2$ の解は $\omega=0,1$
であるから，

$\omega\neq -1,0,1$ のとき $\omega,\omega^2,\omega^3$ はすべて異なる

ことがわかる．よって $\omega^n$ がとりうる値は3種類以下であるためには， $\omega^4$ は $\omega,\omega^2，\omega^3$ のいずれかに一致する．

$\omega^4=\omega$ の解は $\omega=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，
$\omega^4=\omega^2$ の解は $\omega=-1,0,1$ ，
$\omega^4=\omega^3$ の解は $\omega=0,1$
となるので， $\omega=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であり，このとき $\omega\neq0$ より $\omega^3=1$ となり， $\omega\neq 1$ より $\omega^2+\omega+1=0$ となる．

(2) $f(x)=0$ の解が $\omega,\omega^2$ および $\omega^3=1$ だから
$f(x)=(x-\omega)(x-\omega^2)(x-1)$ $=\{x^2-(\omega+\omega^2)x+\omega^3\}(x-1)$ $=(x^2+x+1)(x-1)$ $=x^3-1$
となる．

(3) 求める余りである2次以下の多項式を $R(x)$ とおき，商を $Q(x)$ とおくと
$g(x)=f(x)Q(x)+R(x)$
が成立するので，
$R(\omega)=g(\omega)=0$ ， $R(\omega^2)=g(\omega^2)=0$
が成立する．よって $R(x)=C(x-\omega)(x-\omega^2)=C(x^2+x+1)$
とかける．さらに $R(1)=g(1)=2022$ であるから， $R(x)=\dfrac{2022}{3}(x^2+x+1)=674(x^2+x+1)$ となる．

(3) $g(x)=\dfrac{x^{2022}-1}{x-1}$ $=\dfrac{(x^3)^{674}-1}{x^3-1}\cdot\dfrac{x^3-1}{x-1}$ $=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=0}^{673} (x^{3})^k\Bigr)(x^2+x+1)$
と因数分解でき， $x^3-1$ で割ることは $x^3$ を $1$ に置き換えることだから，求める余りは
$\Bigl(\displaystyle\sum_{k=0}^{673} 1^k\Bigr)(x^2+x+1)=674(x^2+x+1)$
であることがわかる．

2021.03.22記

[別解]

(1) 任意の $n$ について $\omega^n$ が3次方程式 $f(x)=0$ の解となるので， $\omega^n$ がとりうる値は3種類以下である．

よって $\omega=\cos\theta+i\sin\theta$ とおくことができ， $\omega\neq -1,1$ により $\theta$ は $\pi$ の整数倍ではない．

$\omega^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ のとりうる値が3種類以下であるためには， $4\theta$ が mod $2\pi$ で $\theta,2\theta,3\theta$ のいずれかに一致する．つまり， $3\theta,2\theta,\theta$ が $2\pi$ の整数倍に一致する．よって mod $2\pi$ で $\theta=0,\dfrac{2}{3}\pi,\pi,\dfrac{4}{3}\pi$ のいずれかに一致する．ここで $\theta$ は $\pi$ の整数倍ではないので $\theta\equiv \pm\dfrac{2}{3}\pi（\mbox{mod}\,2\pi）$
となる．

よって $\omega=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である．

（以下略）