https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2021/Kouki

[1]

三角形 $\rm ABC$ の辺 $\rm AB$ ， $\rm BC$ ， $\rm AC$ の長さをそれぞれ 5，7，6 とし，点 $\rm P$ と点 $\rm Q$ はそれぞれ $\vec{\rm AP}=2\vec{\rm AB}$ および $\vec{\rm BQ}=2\vec{\rm BC}$ を満たす点とする．さらに，点 $\rm A$ から線分 $\rm PQ$ に下ろした垂線と線分 $\rm PQ$ の交点を $\rm H$ ，線分 $\rm AH$ と線分 $\rm BC$ の交点を $\rm R$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $\rm BR: RC$ を求めよ．

(2) $\rm AR: RH$ を求めよ．

(3) 三角形 $\rm RHC$ の面積を求めよ．

2021.03.19記
「垂直」という計量が入っているので，メネラウスとかチェバだけからでは求まらない．

[解答]

(1)(2) $\vec{b}=\overrightarrow{\rm AB}$ ， $\vec{c}=\overrightarrow{\rm AC}$ とおくと，条件から
$|\vec{b}|=5$ ， $|\vec{c}|=6$ ， $|\vec{b}-\vec{c}|=7$ から $\vec{b}\cdot\vec{c}=6$ となる．

$\overrightarrow{\rm PQ}=2\vec{c}-3\vec{b}$ により，正射影ベクトルから
$\overrightarrow{\rm PH}=\dfrac{(2\vec{c}-3\vec{b})\cdot (-2\vec{b})}{|2\vec{c}-3\vec{b}|^2}(2\vec{c}-3\vec{b})$ $=\dfrac{-126}{297}(2\vec{c}-3\vec{b})$ $=\dfrac{-14}{33}(2\vec{c}-3\vec{b})$
となる．よって
$\overrightarrow{\rm AH}=2\vec{b}+\dfrac{-14}{33}(2\vec{c}-3\vec{b})$ $=\dfrac{24\vec{b}+28\vec{c}}{33}$
$=\dfrac{52}{33}\cdot \dfrac{6\vec{b}+7\vec{c}}{13}$
となる．よって， $\rm BR:RC=7:6$ ， $\rm AR:RH=33:(52-33)=33:19$ となる．

(3) $\triangle\rm ABC$ $=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2-(\vec{b}\cdot\vec{c})^2}=6\sqrt{6}$ だから，
$\triangle\rm RHC$ $=\triangle\rm ABC\times\dfrac{RH}{AR}\times\dfrac{RC}{BC}$ $=\triangle\rm ABC\times\dfrac{19}{33}\times\dfrac{6}{13}$ $=\dfrac{228\sqrt{6}}{143}$