https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2020/Kouki

2020.03.13記

[4] 直交座標で表された次の2つの方程式
$|x|+|y|=c_1\cdots\cdots$ (A)，
$\sqrt{x^2+y^2}=c_2\cdots\cdots$ (B)
を定義する．ただし $c_1$ ， $c_2$ は正の定数である．

(1) $xy$ 平面上に式(A)を満たす $(x,y)$ を図示せよ．

(2) 極座標 $(r,\theta)$ を用いて，式(A)，(B)をそれぞれ極方程式で表せ．

(3) 原点を除く $(x,y)$ に対して $\dfrac{|x|+|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ の最大値および最小値を求めよ．

本問のテーマ

L1ノルム，L2ノルム（L1距離，L2距離）

2020.03.13記
異なる2点のL1距離とL2距離の比は1から $\sqrt{2}$ の範囲にある。

[解答]

(1) $(c_1，0)，(0，c_1)，(-c_1，0)，(0，-c_1)$ の4点を結んでできる正方形となる．

(2) $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ を代入して， (A) は $r=\dfrac{c_1}{|\cos\theta|+|\sin\theta|}$ ，(B)は $r=c_2$ となる．

(3) 同じ $r，\theta$ に対する $\dfrac{c_1}{c_2}$ の範囲を求めれば良く， $\dfrac{c_1}{c_2}=|\cos\theta|+|\sin\theta|$ は $1$ から $\sqrt{2}$ の範囲にある．