https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2019/SuIIIB

2024.10.04記(23:52:56)

[1] $n$ を自然数とする． $x，y$ がすべての実数を動くとき，定積分
$\displaystyle\int_0^1 (\sin(2n\pi t) − xt − y)^2dt$
の最小値を $I_n$ とおく．極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} I_n$ を求めよ．

本問のテーマ

2次元連続データの回帰直線

2次元連続データの回帰直線については
連続2次元データの回帰直線 - 球面倶楽部零八式 mark II
に詳細があり，入試問題では
1993年(平成5年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
などがある．

[大人の解答]
連続2次元データ $(t,u)$ （ $u=f(t)=\sin(2n\pi t)$ ）に対して， $u$ の $t$ への回帰直線が $u=xt+y$ であり，そのときの残差変動は，積分区間幅が $1-0=1$ だから，
$I_n=\dfrac{V[t]V[u]-(\mbox{Cov}[t,u])^2}{V[t]}\cdot 1$
となる．

$E[t]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 t dt=\dfrac{1}{2}$ ，
$E[t^2]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 t^2 dt=\dfrac{1}{3}$ ，
$V[t]=E[t^2]-(E[t])^2=\dfrac{1}{12}$ ，
$E[u]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 \sin(2n\pi t) dx=0$ ，
$E[u^2]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 \sin^2(2n\pi t) dx=\dfrac{1}{2}$ ，
$V[u]=E[u^2]-(E[u])^2=\dfrac{1}{2}$ ，
$\mbox{Cov}[t,u]=E[tu]-E[t]E[u]$ $=E[tu]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 t\sin(2n\pi t) dx=-\dfrac{1}{2n\pi}$
であるから，求める残差変動は
$I_n=\dfrac{V[t]V[u]-(\mbox{Cov}[t,u])^2}{V[t]}\cdot 1$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{n^2\pi^2}$
となる．よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty} I_n=\dfrac{1}{2}$ である．

回帰直線の式は $u=-\dfrac{6}{n\pi}t+\dfrac{3}{n\pi}$ となる．
$u=\sin(2\pi t)$ が $(1/2,0)$ について点対称であるから，回帰直線も $(1/2,0)$ を通る．