https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Qdai/2012/Rikei

2025.01.01記

[1] 円 $x^2+(y-1)^2=4$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

2025.01.01記
類題：1930年(昭和5年)東京帝國大學理學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[解答]
求める体積を $V$ とすると，
$\dfrac{V}{2\pi}=\displaystyle\int_0^2 \left(1+\sqrt{4-x^2}\right)^2\,dx$ $-\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2 \left(1-\sqrt{4-x^2}\right)^2\,dx$
$=\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} (5-x^2)\,dx$ $+2\displaystyle\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx$ $+2\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-x^2}\,dx$
$=4\sqrt{3}$ $+2\cdot(半径2の四分円)$ $+2\cdot \dfrac{1}{2}(半径2，中心角60度の弓形)$
$=4\sqrt{3}+2\pi$ $+\dfrac{2}{3}\pi-\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}+\dfrac{8}{3}\pi$
となり，
$V=6\sqrt{3}\pi+\dfrac{16}{3}\pi^2$
となる．