https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Nagoya/2021/Rikei

2025.11.18記

[4] $0\leqq a\lt 1$ を満たす実数 $a$ に対し，数列 $\{ a_n \}$ を
$a_1=a$ ， $a_{n+1}=3\left[ a_n+\dfrac{1}{2} \right]-2a_n$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）
という漸化式で定める．ただし $[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表す．以下の問に答えよ．

(1) $a$ が $0 \leqq a\lt 1$ の範囲を動くとき，点 $(x，y)=(a_1，a_2)$ の軌跡を $xy$ 平面上に図示せよ．

(2) $a_n-[a_n]\geqq\dfrac{1}{2}$ ならば， $a_n\lt a_{n+1}$ であることを示せ．

(3) $a_n\gt a_{n+1}$ ならば， $a_{n+1}=3[a_n]-2a_n$ かつ $[a_{n+1}]=[a_n]-1$ であることを示せ．

(4) ある $2$ 以上の自然数 $k$ に対して， $a_1\gt a_2\gt \cdots\gt a_k$ が成り立つとする．このとき $a_k$ を $a$ の式で表せ．

2025.11.18記
ガウス記号の問題は $x=[x]+\alpha$ （ $0\leqq\alpha\lt 1$ ）と $x$ の小数部分を設定しておくと混乱が少なくなると思います．

[解答]
$a_n=[a_n] +\alpha_n$ （ $0\leqq \alpha_n\lt 1$ ）とおく．

(1) $0\leqq a=a_1\lt \dfrac{1}{2}$ のときは $a_2=3\cdot 0-2a_1=-2a_1$ となり， $\dfrac{1}{2}\leqq a=a_1\lt 1$ のときは $a_2=3\cdot 1-2a_1=3-2a_1$ となるので， $y=-2x$ （ $0\leqq x\lt\dfrac{1}{2}$ ）， $y=3-2x$ （ $\dfrac{1}{2}\leqq x\lt 1$ ）を図示すれば良い（図示略）．

(2) $\alpha_n\geqq \dfrac{1}{2}$ のとき， $a_{n+1}=3([a_n]+1)-2([a_n]+\alpha_n)$ $=[a_n]+3-2\alpha_n$ $=a_n+3(1-\alpha_n)$ $\gt a_n$ となる．

(3) (2)の対偶から $a_n\geqq a_{n+1}$ ならば $0\leqq\alpha_n\lt\dfrac{1}{2}$ が成立するので， $a_n\gt a_{n+1}$ ならば $0\leqq\alpha_n\lt\dfrac{1}{2}$ である．よって $a_{n+1}=3[a_n]-2a_n$ が成立する．また， $3[a_n]-2[a_n]$ $\gt a_{n+1}$ $=3[a_n]-2a_n$ $=[a_n]-2\alpha_n$ $\gt [a_n] -1$ であるから， $[a_{n+1}]=[a_n]-1$ である．

(4) (3)と $[a_1]=0$ とから $a_{i+1}=-2a_i-3(i-1)$ （ $i=1，2，…，k-1$ ）が成立し， $a_{i+1}+(i+1)-\dfrac{4}{3}=-2\left(a_{i}+i-\dfrac{4}{3}\right)$ と変形できることから
$a_k+k-\dfrac{4}{3}=(-2)^{k-1}\left(a_i-\dfrac{1}{3}\right)$ ，つまり $a_k=(-2)^{k-1}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)-k+\dfrac{4}{3}$ となる．