https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Miyazaki/2017/Igaku

2022.04.23記

[2] 座標平面において， $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点を格子点という． $n$ を自然数とし，連立不等式
$x\geqq y^2$ ， $x + y \leqq n(n + 1)$ の表す領域を $D_n$ とする．また， $D_n$ に含まれる格子点の個数を $a_n$ とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1) 領域 $D_2$ を座標平面上に図示し， $a_2$ を求めよ．

(2) 直線 $x + y = n(n + 1)$ 上にあり， $D_n$ に含まれる格子点の個数を求めよ．

(3) $a_{n+1}−a_n$ を， $n$ を用いて表せ．

(4) $a_n$ を， $n$ を用いて表せ．

本問のテーマ

ピックの公式

[大人の解答]
(2) 放物線と直線の交点の $y$ 座標は $-n-1,n$ であり，直線上では $x$ が整数ならば $y$ も整数となり格子点となるので，求める格子点の個数は $n-(-n-1)+1=2n+2$ である．

(4) (2) より $D_n$ の放物線弧上の格子点の個数も $2n+2$ 個だから両端の重複を除いて $D_n$ の周上の格子点は $4n+2$ 個である．ここで放物線弧を格子点を通る折れ線に変えてできる領域を $D'_n$ とすると，その面積は
$\dfrac{(2n+1)^3}{6}-(2n+1)\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$
であるから，ピックの公式より
$\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}=(a_n-4n-2)+\dfrac{4n+2}{2}-1$
が成立するので，
$a_n=\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+2n+2$ $=\dfrac{2n(n+1)(2n^2+n+3}{3}$
となる．

(1) (4)より $a_2=26$ （図示略）

(3) (4)より $a_{n+1}-a_n=4n^2+8n+6$

順番にやると

[解答]
(3) $D_{n+1}$ のうち $D_n$ に含まれない格子点の数が $a_{n+1}-a_n$ である．
直線は $x$ 軸方向に $(n+1)(n+2)-n(n+1)=2(n+1)$ だけ平行移動されるので，
$y$ 座標が $-n-1\leqq y\leqq n$ をみたす $2n+2$ 個は $2(n+1)$ 倍され，
さらに両端 $y=-n-2,n+1$ の格子点が2個増えるので
$a_{n+1}-a_n=(2n+2)\cdot 2(n+1)+2=4(n+1)^2+2=4n^2+8n^2+6$
となる．

(4) (1)の図示の結果から $a_1=8$ だから，
$a_n=8+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \{4(i+1)^2+2\}$
$=8+4\cdot\left\{\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1\right\}+2(n-1)$
$=\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+2n+2$ $=\dfrac{2n(n+1)(2n^2+n+3}{3}$

のようになる．

結局，ピックの公式と 1/6公式を組合せると2乗和の公式が導かれることを使っている．詳細は
ピックの公式と累乗和の公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
参照のこと．