https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2026/Suri

2025.11.15記

[3] $a$ を正の実数とする．正の実数 $t$ に対して，不等式
$x^2+y^2+a^2z^2\leqq t^2$
を満たす点 $(x，y，z)$ 全体からなる集合を $V(t)$ とする．また， $V(t)$ に含まれる点 $(x，y，z)$ のうち， $x，y，z$ がすべて整数であるものの個数を $N(t)$ とする．このとき，
$\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{N(t)}{t^3}$
を求めよ．

2025.11.15記
格子点の数を体積で近似する良くある問題なので答は $\dfrac{4\pi}{3a}$ となることがすぐにわかりますが特色入試です．きちんと評価して欲しいということなのでしょう．

[解答]
$p，q，r$ が整数である格子点 $(p，q，r)$ に対して体積 $1$ の立方体「 $|x-p|\leqq\dfrac{1}{2}$ かつ $|y-q|\leqq\dfrac{1}{2}$ かつ $|z-r|\leqq\dfrac{1}{2}$ 」を対応させるとこのような立方体で $x^2+y^2+a^2z^2\leqq t^2$ に含まれるものの個数を $m(t)$ ， $x^2+y^2+a^2z^2\leqq t^2$ と共有点をもつものの個数を $M(t)$ とし， $V(t)$ の体積を $v(t)$ とおくと $m(t)\leqq v(t)\leqq M(t)$ ， $m(t)\leqq N(t)\leqq M(t)$ が成立し， $|v(t)-N(t)|\leqq M(t)-m(t)$ が成立する．

ここで $M(t)-m(t)$ は軸方向から眺めて $V(t)$ を含む直方体の表面積で評価することにより $D(t)=2\left\{(2t+1)^2+2(2t+1)\left(2\left[\dfrac{t}{a}\right]+1\right)\right\}$ で押えられ，