https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2026/Rikei

2026.03.05.00:13:26記

[2] $r$ は正の実数とする． $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mbox{OABC}$ において，辺 $\mbox{OA}$ 上に点 $\mbox{P}$ をとる．点 $\mbox{P}$ が辺 $\mbox{OA}$ 上のどこにあっても，点 $\mbox{P}$ を中心とする半径 $r$ の球面が，辺 $\mbox{BC}$ と共有点をもたないような $r$ の範囲を求めよ．ただし，点 $\mbox{O}$ , $\mbox{A}$ は辺 $\mbox{OA}$ に含まれ，点 $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は辺 $\mbox{BC}$ に含まれるとする．

本問のテーマ

等面四面体
正四面体と立方体

2026.03.11.23:38:25記
点 $\rm B，C$ が球の外側にあるが線分 $\rm BC$ が球と交わる場合，をどのように捉えるかが問題です．

[解答]
$u=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ とおき， $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(u，u，0)$ ， $\mbox{B}(u，0，u)$ ， $\mbox{C}(0，u，u)$ とすることができる． $\mbox{P}(tu，tu，0)$ （ $0\leqq t\leqq 1$ ）とおくとき，球面の方程式は
$(x-tu)^2+(y-tu)^2+z^2=r^2$
であり， $\mbox{P}$ から直線 $\mbox{BC}$ に下した垂線の足は $\mbox{Q}\left(\dfrac{u}{2}，\dfrac{u}{2}，u\right)$ である．

点 $\mbox{P}$ が $\mbox{O}$ から $\mbox{A}$ へと動くとき，例えば点 $\mbox{B}$ が球面の内部から外部へと移動する場合，必ず共有点を持つので，点 $\mbox{P}$ が $\mbox{O}$ から $\mbox{A}$ へと動くときに，辺 $\mbox{BC}$ は常に球の内部にある，もしくは辺 $\mbox{BC}$ は常に球の外部にある，のいずれかが成立する．

(i) 辺 $\mbox{BC}$ が常に球の内部にあるとき：
$\mbox{B}，\mbox{C}$ が常に球面の内部にあれば良く，そのような条件は
$(u-tu)^2+(tu)^2+u^2\lt r^2$ から $t^2-t+1\lt r^2$ が $0\leqq t\leqq 1$ なる全ての $t$ で成立すれば良い．
$t^2-t+1$ の $0\leqq t\leqq 1$ における最大値は $t=0，1$ のときの $1$ であるから， $r\gt 1$ が必要十分条件である．

(i) 辺 $\mbox{BC}$ は常に球の外部にあるとき：
辺 $\mbox{BC}$ と共有点を持たない条件は $\mbox{Q}$ も球面の外部にあるときで
$2\left(\dfrac{u}{2}-tu\right)^2+u^2\gt r^2$ から $t^2-t+\dfrac{3}{4}\gt r^2$ が $0\leqq t\leqq 1$ なる全ての $t$ で成立すれば良い．
$t^2-t+\dfrac{3}{4}=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}$ の $0\leqq t\leqq 1$ における最小値は $t=\dfrac{1}{2}$ のときの $\dfrac{1}{2}$ であるから， $(0\lt) r\lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ が必要十分条件である．

以上から求める必要十分条件は「 $(0\lt) r\lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ または $1\lt r$ 」である．

2026.03.12記

[うまい解答]
点 $\mbox{Q}$ を辺 $\mbox{BC}$ 上にとる．正四面体 $\mbox{OABC}$ を一辺の長さが $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の立方体に埋めこむことにより，線分 $\mbox{PQ}$ の長さの最小値は，立方体の一辺の長さ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であり，線分 $\mbox{PQ}$ の長さの最大値は，辺の長さ正四面体 $\mbox{OABC}$ を一辺の長さが $1$ である．よって求める $r$ の範囲は「 $(0\lt) r\lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ または $1\lt r$ 」である．