https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2026/Rikei

2026.03.05.00:13:26記

[1] $a$ は $1$ より大きい実数とし， $k$ は実数とする． $0\lt x\lt 1$ において定義された関数を
$f(x) =\dfrac{1}{x^2\left(\log\dfrac{a}{x}\right)^2}$
とおく． $y = f(x)$ と $y =k$ のグラフの共有点がちょうど $2$ 個存在するような実数の組 $(a，k)$ の集合を，座標平面上に図示せよ．ただし $\log x$ は自然対数とする．
また， $\displaystyle\lim_{x\to +0} x \log x =0$ が成り立つことを証明なしに用いてよい．

本問のテーマ

ランベルトのW関数(2026.03.30)

2026.03.11.18:39:48記
$\dfrac{1}{f(x)}=x^2\left(\log\dfrac{a}{x}\right)^2=x^2(\log a-\log x)^2$ と変形すれば，非負の関数 $x^2$ ， $(\log x-\log a)^2$ の積なので非負かつ $x=+0，a-0$ で $\dfrac{1}{f(x)}\to 0$ （ $\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{1}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x\to a-0}\dfrac{1}{f(x)}=0$ ）となることがわかります．

[うまい解答]
$y=L(x)=x\log x$ のグラフは頻出であり，その増減は $0\lt x\lt 1$ で

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\dfrac{1}{e}$	$\cdots$	$(1)$
$L(x)$	$(0)$	$\searrow$	$-\dfrac{1}{e}$	$\nearrow$	$0$

となる（ここで $\displaystyle\lim_{x\to +0} x \log x =0$ を用いた）．ここで $f(x)=\dfrac{1}{a^2\left\{L\left(\dfrac{x}{a}\right)\right\}^2}$ であるから， $f(x)$ の増減は

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\dfrac{a}{e}$	$\cdots$	$(a)$
$f(x)$	$(+\infty)$	$\searrow$	$\dfrac{e^2}{a^2}$	$\nearrow$	$+\infty$

となる．

(i) $\dfrac{a}{e}\geqq 1$ ，つまり $a\geqq e$ のとき：
$f(x)$ の増減は

$x$	$(0)$	$\cdots$	$1$
$f(x)$	$(+\infty)$	$\searrow$	$\dfrac{1}{(\log a)^2}$

となり単調減少であるから $y=f(x)$ と $y=k$ のグラフの共有点は高々 $1$ 個であり， $2$ 個にはならない．

(ii) $1\lt a\lt e$ のとき：
$f(x)$ の増減は

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\dfrac{a}{e}$	$\cdots$	$(1)$
$f(x)$	$(+\infty)$	$\searrow$	$\dfrac{e^2}{a^2}$	$\nearrow$	$1/(\log a)^2$

となるので求める条件は $\dfrac{e^2}{a^2} \lt k\lt \dfrac{1}{(\log a)^2}$ となる．

以上から求める $(a，k)$ の集合は「 $1\lt a\lt e$ かつ $\dfrac{e^2}{a^2} \lt k\lt \dfrac{1}{(\log a)^2}$ 」であり，図示すると次図（すべての境界は除く）．

2026.03.30記
「他人の褌で相撲をとる」です．

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$y=x\log x$ のグラフの考察を $z=\log x$ によって $y=ze^z$ のグラフの考察に帰着させ，よって多価関数 $z=W(y)$ （ランベルトのW関数）のグラフの考察（二価となる部分）に帰着させたということです．ランベルトのW関数については 2021年(令和3年)青山学院大学経済学部B方式-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の解説にも登場します．