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2026年(令和8年)京都大学-数学(文系)[4]

2026.03.05.00:23:15記

[4] 実数 $x$ に対して， $l\leqq x$ を満たす最大の整数 $l$ を $[x]$ で表す．正の整数 $n$ に対して， $a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n [\log_3 k]$ と定める．

(1) $a_{26}$ を求めよ．

(2) $N$ を正の整数とし， $m =3^N-1$ とするとき， $a_m$ を $N$ を用いて表せ．

2026.03.15.15:19:55記
ガウス記号の定義で良く「 $x$ を超えない最大の整数」という表現がありますが，「 $x$ 以下の最大の整数」でいいよね，という出題者の気持ちが込められています．

[解答]
$u$ を整数として $[\log_3 k]=u$ となる $k$ は $3^u$ 以上 $3^{u+1}$ 未満の整数です．

(1) $a_{26}=2\cdot (26-8)+1\cdot (8-2) + 0\cdot 2$ $=36+6+0=42$ である．

(2) $N\geqq 2$ のとき，
$a_m=(N-1)(3^{N}-3^{N-1})$ $+(N-2)(3^{N-1}-3^{N-2})$ $+\cdots+1\cdot(3^2-3^1)+0\cdot (3^1-3^0)$
$=(N-1)\cdot 3^N-(3+3^2+\cdots+3^{N-1})$
$=(N-1)\cdot 3^N-\dfrac{3^N-3}{2}$
$=\dfrac{(2N-3)\cdot 3^N+3}{2}$
であり，これは $a_1=0$ を含む．

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