https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2026/Bunkei

2026.03.05.00:23:15記

[1] $t$ は $0\lt t\lt 1$ を満たす実数とする．座標平面において，円 $C:x^2+y^2=1$ 上で， $y$ 座標が $t$ であり，さらに第 $1$ 象限にある点 $\mbox{P}$ をとる．点 $\mbox{P}$ における $C$ の接線を $l$ とし，放物線 $y=2-x^2$ と接線 $l$ で囲まれる図形の面積を $S$ とする． $t$ が $0\lt t\lt 1$ の範囲を動くとき， $S$ の最小値を求めよ．

2026.03.15.13:04:15記

[解答]
$u=\sqrt{1-t^2}$ とおくと， $l$ の方程式は $ux+ty=1$ （ $0\lt t\lt 1$ ）となる．これは $t\neq 0$ により $y=-\dfrac{u}{t}x+\dfrac{1}{t}$ と変形できる．

$l$ と $y=2-x^2$ の交点の $x$ 座標は
$x^2+\dfrac{u}{t}x+\dfrac{1}{t}-2=0$
の $2$ 解であり，それを $\alpha，\beta$ とおくと
$(\beta-\alpha)^2=\dfrac{u^2}{t^2}-\dfrac{4-8t}{t}$ $=\dfrac{1-t^2}{t^2}-\dfrac{4-8t}{t}$ $=\dfrac{1}{t^2}-4\dfrac{1}{t}+7$ $=\left(\dfrac{1}{t}-2\right)^2+3$
であり囲まれる図形の面積 $S$ は
$S=\dfrac{|\beta-\alpha|^3}{6}$
であるから， $t=\dfrac{1}{2}$ のときに最小値 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ をとる．