2026年(令和8年)京都大学-数学(文系)

[1] は を満たす実数とする．座標平面において，円 上で， 座標が であり，さらに第 象限にある点 をとる．点 における の接線を とし，放物線 と接線 で囲まれる図形の面積を とする． が の範囲を動くとき， の最小値を求めよ．

[2] は正の実数とする． 辺の長さが の正四面体 において，辺 上に点 をとる．点 が辺 上のどこにあっても，点 を中心とする半径 の球面が，辺 と共有点をもたないような の範囲を求めよ．ただし，点 , は辺 に含まれ，点 ， は辺 に含まれるとする．

[3] は より大きい素数とする．

(1) 以上の整数 は， 以上の整数 と 以上の整数 を用いて

と表すことができることを示せ．

(2) 以上の整数 と 以上の整数を用いて

と表すことができないような 以上の整数 の個数を求めよ．

[4] 実数 に対して， を満たす最大の整数 を で表す．正の整数 に対して， と定める．

(1) を求めよ．

(2) を正の整数とし， とするとき， を を用いて表せ．

[5] は 以上の整数とする． から までの番号が書かれた枚の札が袋に入っている．ただし，同じ番号が書かれた札はないとする．この袋から 枚の札を同時に取り出し，一番大きな番号を とする． の期待値を求めよ．