https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Suri

2024.11.24記

[4] 自然数 $n$ に対して，関数 $f_n(x)$ を次で帰納的に定める．
$f_1(x)=\sin(x)$
$f_n(x)=\sin(f_{n-1}(x))$ （ $n=2，3，4，\cdots$ ）
また， $L$ を正の実数とし，
$f_n(a)-\dfrac{a}{L}=0$
を満たす実数 $a$ の個数を $A_{L,n}$ とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1) $L\leqq 1$ のとき， $\displaystyle \lim_{n\to\infty} A_{L,n}$ の値を求めよ．

(2) $L\gt 1$ のとき， $\displaystyle \lim_{n\to\infty} A_{L,n}$ の値を求めよ．

ただし， $0$ 以上の実数からなる数列 $\{a_n\}$ が，任意の $n$ に対して $a_{n+1}\leqq a_n$ を満たすとき，数列 $\{a_n\}$ が収束することを用いてもよい．

2024.11.24記

[解答]
(1) $\sin x$ は奇関数であるから帰納的に $f_n(x)$ も奇関数となる．

$x\geqq 0$ において
$\sin x \leqq x$ （等号成立は $x=0$ ）…(★)
であるから帰納的に $f_n(x)\geqq x$ （等号成立は $x=0$ ）となるので， $\dfrac{1}{L}\geqq 1$ により
$f_n(x)\geqq \dfrac{x}{L}$ （等号成立は $x=0$ ）
となる．この両辺が奇関数であることに注意すると
$A_{L,n}=1$
だから， $\displaystyle \lim_{n\to\infty} A_{L,n}=1$ である．

(2) $f_1(x)$ は周期 $2\pi$ の周期関数で $(0，0)$ に関して点対称で， $x=\dfrac{\pi}{2}$ に関して線対称であるから，帰納的に $f_n(x)$ も周期 $2\pi$ の周期関数で $(0，0)$ に関して点対称で， $x=\dfrac{\pi}{2}$ に関して線対称である．

また， $f_1(x)$ は $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で単調増加であることから，帰納的に $f_n(x)$ も $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で単調増加であり，この範囲における値域は
(★)に注意して
$0\leqq f_n(x)\leqq f_n\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\lt\dfrac{\pi}{2}$ …(☆)
である．

ここで $M_0=\dfrac{\pi}{2}$ ， $M_n=f_n\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ （ $n$ は自然数）とおくと，数列 $\{M_n\}$ は $0$ 以上の実数からなり，任意の $n$ に対して $M_{n+1}\leqq M_n$ を満たすので，数列 $\{M_n\}$ は収束する．この極限値を $\alpha$ とおくと $\sin(\alpha)=\alpha$ をみたし(☆)により $\alpha=0$ となる．

よって任意の $L\gt 1$ に対して
「 $n\geqq k$ ならば $M_n \lt \dfrac{\pi}{2L}$ 」
をみたす自然数 $k$ が存在し，このとき
$f_n\left(\dfrac{\pi}{2}\right) =M_n \lt \dfrac{\pi}{2L}$
が成立するので $x\geqq\dfrac{\pi}{2}$ で $f_n(x) - \dfrac{x}{L}\lt 0$
となる．

$n\geqq k$ なる $n$ に対して $g_n(x)=f_n(x)-\dfrac{x}{L}$ のグラフを考える． $x\geqq\dfrac{\pi}{2}$ で $g_n(x)\lt 0$ であるから， $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲の増減のみ考える．
$g_n'(x)=\cos(f_n(x))\cos(f_{n-1}(x))\cdot\cdots\cdot\cos(f_1(x))\cos x-\dfrac{1}{L}$
が成立し，各 $\cos(f_n(x))$ ，および $\cos x$ は $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で非負単調減少関数であるからその積は減少関数となり，よって $g_n'(x)$ も単調減少となる．
また $g_n'(0)=1-\dfrac{1}{L}\gt 0$ ， $g_n'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{L}\lt 0$ であるから， $g_n'(u)=0$ なる $0\lt u\lt \dfrac{\pi}{2}$ が唯一存在する．

よって増減表から

$x$	$0$	$\cdots$	$u$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$f_n'(x)$		$+$	$-$	$-$
$f_n(x)$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	負

となり， $g_n(x)=0$ となる正の数が $u\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ に唯一存在する．これを $v$ とおくと $g_n(x)=0$ の解は $0，\pm v$ の3つとなり，よって
十分大きな $n$ に対して
$A_{L,n}=3$
だから， $\displaystyle \lim_{n\to\infty} A_{L,n}=3$ である．