https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Suri

2024.11.24記

[3] 座標平面における領域
$A = \{(x，y) \, |\, y \geqq e^x \}$
で定める図形 $A$ を考える． $A$ に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形を $n$ 個用意し，それぞれ $A_1，A_2，\cdots，A_n$ とする．
このとき， $A_1，A_2，\cdots，A_n$ により座標平面全体を覆うことのできる $n$ の最小値を求めよ．

2024.11.24記

[解答]
点 $\mbox{P}(p，q)$ を通る半直線
$l(\mbox{P}，\theta):\, (p+t\cos\theta，q+t\sin\theta)$ （ $t\geqq 0$ ）
が， $t$ がある値より大きければ常に図形 $A$ に含まれるとき， $\theta$ は点 $\rm P$ に対して良い角度であると呼ぶことにする．そして点 $\rm P$ に対して良い角度である $\theta$ （ $0\leqq \theta\lt 2\pi$ ）の集合が表す区間を $I(\mbox{P})$ とし，その区間の長さを $L(\mbox{P})$ とする．

(i) $\sin\theta\lt 0$ のとき：
十分大きな（ $t\gt -\dfrac{q}{\sin\theta}$ をみたす） $t$ に対して $y$ 座標が負となるので半直線は $A$ から飛び出すので $\theta$ は点 $\rm P$ に対して良い角度ではない．

(ii) $\sin\theta\geqq 0，\cos\theta\gt 0$ のとき：
$y-e^x=q+t\sin\theta-e^{p}\cdot e^{t\cos\theta}$
である．下に凸な $y=e^x$ の $x=0$ における接線を考えて $e^x\geqq 1+x\gt x$ が成立するので，
$x$ を $\dfrac{x}{2}$ の置き換えると $e^{x/2}\gt \dfrac{x}{2}$ となり $x\gt 0$ で $e^x\gt \dfrac{x^2}{4}$ が成立することに注意すると
$y-e^x=q+t\sin\theta-e^{p}\cdot e^{t\cos\theta}\lt q+t\sin\theta-e^p \cdot \dfrac{\cos^2 \theta}{4}t^2$ （ $t^2$ の係数が負の2次関数）
となるので，十分大きな $t$ に対して $y-e^x\lt 0$ となり半直線は $A$ から飛び出すので $\theta$ は点 $\rm P$ に対して良い角度ではない．

(i)(ii) から $0\leqq\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ ，及び $\pi\lt\theta\lt 2\pi$ なる $\theta$ は点 $\rm P$ に対して良い角度ではないので，平面上の任意の点 $\mbox{P}$ に対して $I(\mbox{P})$ は $\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq\pi$ に含まれる．つまり $L(\mbox{P})\leqq\dfrac{\pi}{2}$ となる．

つまり，図形 $A$ に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる任意の図形 $B$ に対して， $\theta$ が原点に対して良い角度であるような $\theta$ の区間の長さは $\dfrac{\pi}{2}$ 以下となり，全方向である $2\pi$ 方向をカバーするには少なくとも図形が4個必要である．

例えば
$A_1 = \{(x，y) \, |\, y \geqq e^x-1 \}$
は第2象限全体を覆うので，これを原点中心に $\dfrac{\pi}{2}，\pi，\dfrac{3\pi}{2}$ 回転したものを $A_2，A_3，A_4$ とすれば，これらは第3象限全体，第4象限全体，第1象限全体を覆うので，これら4個で座標平面全体を覆うことができ，十分である．

よって $n$ の最小値は 4 である．