https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Suri

2024.11.24記

[1] $n$ を自然数とする。実数 $x$ に対し， $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ とし， $f(x)=x-[x]$ と定める．このとき， $1$ よりも大きく，かつ整数でないような実数 $x$ のうちで，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f\left(\dfrac{1}{nf(\sqrt[n]{x})}\right)=\dfrac{1}{2}$
を満たすものをすべて求めよ．

[2] $n$ を $5$ 以上の自然数とする． $\rm K，O，T，Y$ が1文字ずつ書かれた4枚のカード $\fbox{K}，\fbox{O}，\fbox{T}，\fbox{Y}$ を用意する．この4枚のカードから1枚を引き，書かれた文字を記録し，戻すという操作を $n$ 回繰り返し，記録された順に文字を左から並べる．

このとき，並んだ $n$ 個の文字の中に連続した文字列「 $\rm KYOTO$ 」が現れる確率 $p_n$ が
$p_n\geqq 1-\left(\dfrac{1023}{1024}\right)^{n-4}$
を満たすことを示せ．

ただし，上の操作においては，それぞれのカードを毎回独立に，等しい確率で引くものとする．

[3] 座標平面における領域
$A = \{(x，y) \, |\, y \geqq e^x \}$
で定める図形 $A$ を考える． $A$ に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形を $n$ 個用意し，それぞれ $A_1，A_2，\cdots，A_n$ とする．
このとき， $A_1，A_2，\cdots，A_n$ により座標平面全体を覆うことのできる $n$ の最小値を求めよ．

[4] 自然数 $n$ に対して，関数 $f_n(x)$ を次で帰納的に定める．
$f_1(x)=\sin(x)$
$f_n(x)=\sin(f_{n-1}(x))$ （ $n=2，3，4，\cdots$ ）
また， $L$ を正の実数とし，
$f_n(a)-\dfrac{a}{L}=0$
を満たす実数 $a$ の個数を $A_{L,n}$ とする．このとき，以下の設問に答えよ．