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2025.03.02記

[6] $n$ は2以上の整数とする．1枚の硬貨を続けて $n$ 回投げる．このとき， $k$ 回目 $(1 \leqq k \leqq n)$ に表が出たら $X_k=1$ ，裏が出たら $X_k=0$ として， $X_1，X_2，\cdots，X_n$ を定める．
$Y_n=\displaystyle\sum_{k=2}^nX_{k-1}X_k$
とするとき， $Y_n$ が奇数である確率 $p_n$ を求めよ．

本問のテーマ

マルコフ過程

2025.03.02記

[解答]
$Y_n$ が奇数で $X_n=0$ である確率を $a_n$ ，
$Y_n$ が奇数で $X_n=1$ である確率を $b_n$ ，
$Y_n$ が偶数で $X_n=0$ である確率を $c_n$ ，
$Y_n$ が偶数 $X_n=1$ である確率を $d_n$
とおくと $a_2=0$ ， $b_2=\dfrac{1}{4}$ ， $c_2=\dfrac{1}{2}$ ， $d_2=\dfrac{1}{4}$ であり，
$a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ ，
$b_{n+1}=\dfrac{a_n+d_n}{2}$ ，

$c_{n+1}=\dfrac{c_n+d_n}{2}$ ，
$d_{n+1}=\dfrac{b_n+c_n}{2}$

が成立する．

$p_n=a_n+b_n$ ， $a_n+c_n=b_n+d_n=\dfrac{1}{2}$ により
$p_{n+2}=a_{n+1}+\dfrac{1}{4}$ $=\dfrac{p_n}{2}+\dfrac{1}{4}$
が成立し， $p_2=\dfrac{1}{4}$ ， $p_3=a_2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$ である．

$n=2k$ のとき
$p_{2k}-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{2}\left(p_{2(k-1)}-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{1}{2^{k-1}}\left(p_{2}-\dfrac{1}{2}\right)$
$=-\dfrac{1}{2^{k+1}}$ $=-\dfrac{1}{2^{\frac{n+2}{2}}}$
から $p_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^{\frac{n+2}{2}}}$ となる．

$n=2k+1$ のとき
$p_{2k+1}-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{2^{k-1}}\left(p_{3}-\dfrac{1}{2}\right)$ $=-\dfrac{1}{2^{k+1}}$ $=-\dfrac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}$
から $p_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^{\frac{n+1}{2}}}$ となる．