https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Rikei

2025.03.02記

[4] 座標空間の4点 $\rm O，A，B，C$ は同一平面上にないとする． $s，t，u$ は0でない実数とする．直線 $\rm OA$ 上の点 $\rm L$ ，直線 $\rm OB$ 上の点 $\rm M$ ，直線 $\rm OC$ 上の点 $\rm N$ を $\overrightarrow{\rm OL}=s\overrightarrow{\rm OA}$ ， $\overrightarrow{\rm OM}=t\overrightarrow{\rm OB}$ ， $\overrightarrow{\rm ON}=u\overrightarrow{\rm OC}$ が成り立つようにとる．

(1) $s，t，u$ が $\displaystyle \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を満たす範囲であらゆる値をとるとき，3点 $\rm L，M，N$ の定める平面 $\rm LMN$ は， $s，t，u$ の値に無関係な一定の点 $\rm P$ を通ることを示せ．さらに，そのような点 $\rm P$ はただ一つに定まることを示せ．

(2) 四面体 $\rm OABC$ の体積を $V$ とする．(1)における点 $\rm P$ について，四面体 $\rm PABC$ の体積を $V$ を用いて表せ．

2025.03.02記
平面 $\rm LMN$ 上の点は
$x\overrightarrow{\rm OA}+y\overrightarrow{\rm OB}+z\overrightarrow{\rm OC}$ （ $\dfrac{x}{s}+\dfrac{y}{t}+\dfrac{z}{u}=1$ ）
の形に一意に表すことができる（切片方程式）．これと $\displaystyle \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ ，つまり $\displaystyle \dfrac{1/4}{s}+\dfrac{2/4}{t}+\dfrac{3/4}{u}=1$ から平面 $\rm LMN$ 上は
$\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\rm OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\rm OC}$
を必ず通る．

[解答]
(1) 平面 $\rm LMN$ 上の点は
$p\overrightarrow{\rm OL}+q\overrightarrow{\rm OM}+r\overrightarrow{\rm ON}$ （ $p+q+r=1$ ）
の形に一意に表すことができる．これは
$ps\overrightarrow{\rm OA}+qt\overrightarrow{\rm OB}+ru\overrightarrow{\rm OC}$ （ $p+q+r=1$ ）
と変形できるので，平面 $\rm LMN$ 上の点は
$x\overrightarrow{\rm OA}+y\overrightarrow{\rm OB}+z\overrightarrow{\rm OC}$ （ $\dfrac{x}{s}+\dfrac{y}{t}+\dfrac{z}{u}=1$ ）
の形に一意に表すことができる．

$\displaystyle \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を満たす $s，t，u$ として
$(s，t，u)$ $=(3，3，1)$ ， $(2，4，1)$ ， $(1，1，3)$
を選んで連立方程式
$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}+z=1$ …①，

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+z=1$ …②，

$x+y+\dfrac{z}{3}=1$ …③

を解くと，② $-$ ①から $y=2x$ ， $3\times$ ① $-$ ③から $z=\dfrac{3}{4}$ となり，③から $x+y=\dfrac{3}{4}$ となり
$(x，y，z)=\left(\dfrac{1}{4}，\dfrac{1}{2}，\dfrac{3}{4}\right)$
となるので，
$\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\rm OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\rm OC}$
となることが必要であり，
$\displaystyle \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$
ならば必ず
$\dfrac{1/4}{s}+\dfrac{1/2}{t}+\dfrac{3/4}{u}=1$
が成立するので十分である．よって平面 $\rm LMN$ は， $s，t，u$ の値に無関係な一定の点 $\rm P$ を通り，このような点 $\rm P$ はただ一つに定まる．

(2) 空間上の点 $X$ を
$\overrightarrow{\rm OX}=x\overrightarrow{\rm OA}+y\overrightarrow{\rm OB}+z\overrightarrow{\rm OC}$
と表したとき，平面 $\rm ABC$ は $x+y+z=1$ を満たす点の集合，
点 $\rm P$ は $x+y+z=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$ ，
点 $\rm O$ は $x+y+z=0$
であり， $|0-1|=2\cdot\left|\dfrac{3}{2}-1\right|$ であるから，平面 $\rm ABC$ から見た点 $\rm O$ の高さは平面 $\rm ABC$ から見た点 $\rm P$ の高さの2倍となる．

よって四面体 $\rm PABC$ の体積は四面体 $\rm OABC$ の体積の半分の $\dfrac{1}{2}V$ となる．