https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Rikei

2025.03.02記

[3] $e$ は自然対数の底とする． $\displaystyle x\gt \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ において定義された次の関数 $f(x)，g(x)$ を考える．
$f(x)=x^2\log x$
$g(x)=x^2\log x-\dfrac{1}{1+2\log x}$
実数 $t$ は $\displaystyle t\gt\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ を満たすとする．曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t，f(t))$ における接線に垂直で，点 $(t，g(t))$ を通る直線を $l_t$ とする．直線 $l_t$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $p(t)$ とする． $t$ が $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{e}} \lt t \leqq e$ の範囲を動くとき， $p(t)$ の取りうる値の範囲を求めよ．

2025.03.02記
$\log$ の計算は苦手なので，置き換えをしているが，特に易しくなる訳でもない．

[解答]
$t=e^u$ とおくと $-\dfrac{1}{2}\lt u\leqq 1$ である．
$f'(t)=t(2\log t+1)=e^u(2u+1)\gt 0$ により $l_t$ の方程式は $y=-\dfrac{1}{f'(t)}(x-t)+g(t)$ であるから，
$p(t)=t+f'(t)g(t)$ $=t^3(2\log t+1)\log t$ $=(2u^2+u)e^{3u}$ （ $P(u)$ とおく）
が成立する．

$P'(u)=(6u^2+7u+1)e^{3u}$ $=(6u+1)(u+1)e^{3u}$ であるから， $-\dfrac{1}{2}\lt u\leqq 1$ の範囲における増減表は