https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Bunkei

2025.03.02記

[5] 座標空間の4点 $\rm O，A，B，C$ は同一平面上にないとする． $s，t，u$ は0でない実数とする．直線 $\rm OA$ 上の点 $\rm L$ ，直線 $\rm OB$ 上の点 $\rm M$ ，直線 $\rm OC$ 上の点 $\rm N$ を $\overrightarrow{\rm OL}=s\overrightarrow{\rm OA}$ ， $\overrightarrow{\rm OM}=t\overrightarrow{\rm OB}$ ， $\overrightarrow{\rm ON}=u\overrightarrow{\rm OC}$ が成り立つようにとる． $s，t，u$ が $\displaystyle \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ を満たす範囲であらゆる値をとるとき，3点 $\rm L，M，N$ の定める平面 $\rm LMN$ は， $s，t，u$ の値に無関係な一定の点を通ることを示せ．

2025年(令和7年)京都大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の一部．一意性を言わなくて良いので楽．

2025.03.02記
平面 $\rm LMN$ 上の点は
$x\overrightarrow{\rm OA}+y\overrightarrow{\rm OB}+z\overrightarrow{\rm OC}$ （ $\dfrac{x}{s}+\dfrac{y}{t}+\dfrac{z}{u}=1$ ）
の形に一意に表すことができる（切片方程式）．これと $\displaystyle \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$ ，つまり $\displaystyle \dfrac{1/4}{s}+\dfrac{2/4}{t}+\dfrac{3/4}{u}=1$ から平面 $\rm LMN$ 上は
$\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\rm OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\rm OC}$
を必ず通る．

[解答]
(1) 平面 $\rm LMN$ 上の点は
$p\overrightarrow{\rm OL}+q\overrightarrow{\rm OM}+r\overrightarrow{\rm ON}$ （ $p+q+r=1$ ）
の形に一意に表すことができる．これは
$ps\overrightarrow{\rm OA}+qt\overrightarrow{\rm OB}+ru\overrightarrow{\rm OC}$ （ $p+q+r=1$ ）
と変形できるので，平面 $\rm LMN$ 上の点は
$x\overrightarrow{\rm OA}+y\overrightarrow{\rm OB}+z\overrightarrow{\rm OC}$ （ $\dfrac{x}{s}+\dfrac{y}{t}+\dfrac{z}{u}=1$ ）
の形に一意に表すことができる．

$\displaystyle \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4$
ならば必ず
$\dfrac{1/4}{s}+\dfrac{1/2}{t}+\dfrac{3/4}{u}=1$
が成立するので $x=\dfrac{1}{4}$ ， $y=\dfrac{1}{2}$ ， $z=\dfrac{3}{4}$ なる点，つまり
$\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\rm OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\rm OC}$
なる点 $\rm P$ を必ず通る．