https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Bunkei

2025.03.02記

[4] 座標平面において，曲線 $C_1:y=x^2-2|x|$ ，曲線 $\displaystyle C_2:y=x^2-5x+\dfrac{7}{4}$ ，直線 $\displaystyle l_1:x=\dfrac{3}{2}$ を考える．

(1) 点 $(0，0)$ と異なる点で $C_1$ と接し，さらに $C_2$ とも接するような直線 $l_2$ がただ一つ存在することを示せ．

(2) $C_1$ と $l_2$ の共有点を $\rm P$ とし，その $x$ 座標を $a$ とする．また， $l_1$ と $l_2$ の共有点を $\rm Q$ とし， $C_1$ と $l_1$ の共有点を $\rm R$ とする．曲線 $C_1$ の $\displaystyle a \leqq x \leqq \dfrac{3}{2}$ の部分，線分 $\rm PQ$ ，および線分 $\rm QR$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

2025.03.02記
$y=(x-a)^2+b$ の傾き $p$ の接線の接点は $a+\dfrac{p}{2}$ となることを使ってみよう（京大で大丈夫か？）

[解答]
(1) $x\gt 0$ のとき， $y=x^2-2x=(x-1)^2-1$ から $y=x^2-5x+\dfrac{7}{4}=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}$ へは $(3/2，-7/2)$ だけ平行移動している．この方向は傾き $-7/3$ であるから，共通接線は $y=(x-1)^2-1$ の $x=1-\dfrac{7}{6}=-\dfrac{1}{6}$ における接線となり， $x\gt 0$ に反して不適．

$x\lt 0$ のとき， $y=x^2+2x=(x+1)^2-1$ から $y=x^2-5x+\dfrac{7}{4}=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}$ へは $(7/2，-7/2)$ だけ平行移動している．この方向は傾き $-1$ であるから，共通接線は $y=(x+1)^2-1$ の $x=-1-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$ における接線となり， $x\lt 0$ に適する．

よって，点 $(0，0)$ と異なる点で $C_1$ と接し，さらに $C_2$ とも接するような直線 $l_2$ がただ一つ存在し，それは $y=-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{3}{4}=-x-\dfrac{9}{4}$ である．

(2) $\mbox{P}\left(-\dfrac{3}{2}，-\dfrac{3}{4}\right)$ ， $\mbox{Q}\left(\dfrac{3}{2}，-\dfrac{15}{4}\right)$ ， $\mbox{R}\left(\dfrac{3}{2}，-\dfrac{3}{4}\right)$
である．
$\mbox{A}\left(-\dfrac{3}{2}，0\right)$ ， $\mbox{B}\left(\dfrac{3}{2}，0\right)$ ， $\mbox{C}\left(0，-\dfrac{9}{4}\right)$
とおくと求める面積は
$(台形\mbox{APQB})-2\displaystyle\int_0^{3/2} (2x-x^2)\,dx$ $=\mbox{AB}\cdot\mbox{OC}-2\Bigl[x^2-\dfrac{x^3}{3}\Bigr]_0^{3/2}$ $=3\cdot\dfrac{9}{4}-2\Bigl(\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{8}\Bigr)$ $=\dfrac{9}{2}$
となる．