https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Bunkei

2025.03.02記

[3] $n$ は正の整数とする．1枚の硬貨を投げ，表が出たら1，裏が出たら2と記録する．この試行を $n$ 回繰り返し，記録された順に数字を左から並べて $n$ 桁の数 $X$ を作る．ただし，数の表し方は十進数とする．このとき， $X$ が6で割り切れる確率を求めよ．

本問のテーマ

マルコフ過程

2025.03.02記

[解答]
$X$ を3で割った余りが1である確率を $a_n$ とおくと，求める確率は $\dfrac{1}{2}a_{n-1}$ によって得られる．

$X$ を3で割った余りが2である確率を $b_n$ ，
$X$ を3で割った余りが0である確率を $c_n$
とおくと， $a_1=\dfrac{1}{2}$ ， $b_1=\dfrac{1}{2}$ ， $c_1=0$ であり，
$a_{n+1}=\dfrac{b_n+c_n}{2}$ ，
$b_{n+1}=\dfrac{c_n+a_n}{2}$ ，
$c_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$
が成立する． $a_n+b_n+c_n=1$ であるから
$a_{n+1}=\dfrac{1-a_n}{2}$
となり，
$a_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(a_{n+1}-\dfrac{1}{3}\right)$
$=\dfrac{1}{(-2)^n}\left(a_{1}-\dfrac{1}{3}\right)$
から
$a_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\dfrac{1}{(-2)^{n-1}}$
が成立し，よって求める確率は
$\dfrac{1}{2}a_{n-1}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6\cdot(-2)^{n-1}}$ ( $n\geqq 2$ )
となり，この結果は $n=1$ の場合（確率 $0$ ）も含む．

2025.05.05記
$a_{n+1}-b_{n-1}=-\dfrac{1}{2}(a_n-b_n)=\dfrac{1}{(-2)^n}(a_1-b_1)=0$ から $a_n=b_n$ となり， $c_{n+1}=a_n$ となる．

つまり $X$ が3で割った余りが $1，2，0$ である確率と
2018年(平成30年)京都大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
における $z_n=1，\omega，\omega^2$ となる確率が等しくなる．

何かうまい対応が作れるかと思ったが推移行列の固有値が $1，-\dfrac{1}{2}，-\dfrac{1}{2}$ と $1，-\dfrac{1}{2}，0$ と違うので初期値が特殊な場合にだけ成り立ちそうである．実際，固有値が $1，-\dfrac{1}{2}$ に対応する固有ベクトルとして共通な
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ をとることができるので，本問において $a_1=b_1$ ，参照問題において $p_0(1)=p_1(1)$ という条件が成立していれば常に $a_n=b_n$ ，参照問題において $p_0(n)=p_1(n)$ が成立するので $X$ が3で割った余りが $1，2，0$ である確率と参照問題における $z_n=1，\omega，\omega^2$ となる確率が等しくなる．

なので操作に対応はつかなさそうで，初期値依存の偶然の一致だと考えるのが良さそう．