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2025年(令和7年)京都大学-数学(文系)[2]

2025.03.02記

[2] 実数 $a，b$ についての次の条件(＊)を考える．

(＊) ある実数係数の2次式 $f(x)$ と，ある実数 $c$ に対して， $x$ についての恒等式
$\dfrac{1}{8}x^4+ax^3+bx^2=f(f(x))+c$
が成り立つ．

この条件(＊)を満たす点 $(a，b)$ 全体の集合を座標平面上に図示せよ．

2025.03.03記

[解答]
$f(x)=px^2+qx+r$ （ $p，q，r$ は実数）とおくと
$f(f(x))=p(px^2+qx+r)^2+q(px^2+qx+r)+r$ $=\dfrac{1}{8}x^4+ax^3+bx^2-c$
が恒等式となるので
$p=\dfrac{1}{2}$ ，
$2p^2q=a$ ，
$2p^2r+pq^2+pq=b$ ，
$2pqr+q^2=0$
が成立する（ $c$ は $q，r$ から $c=-\dfrac{1}{2}r^2-qr-r$ によって計算すれば良い）．

整理して
$p=\dfrac{1}{2}$ ，
$q=2a$ ，
$r=2b-4a^2-2a$ ，
$q(r+q)=0$ ，
となる $q，r$ が存在するような $(a，b)$ の集合を図示すれば良い．

(i) $q=0$ のとき $a=0$ ， $b=\dfrac{r}{2}$
（ $r$ は全実数をとり得るので $b$ も全実数をとり得る）
であるから， $b$ 軸全体となる．

(ii) $q=-r$ のとき $b=2a^2$ ， $a=-\dfrac{r}{2}$
（ $r$ は全実数をとり得るので $a$ も全実数をとり得る）
であるから， $b=2a^2$ 全体となる．

以上(i)(ii)の和集合が求める集合となる（図示略）．

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