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2025年(令和7年)京都大学-数学(文系)[1]問２

2025.03.02記

[1] 問２ $\quad$ $n^4+6n^2+23$ が $n^2+n+3$ で割り切れるような正の整数 $n$ をすべて求めよ．

2025.03.02記11:38:29

[解答]
$\dfrac{n^4+6n^2+23}{n^2+n+3}=n^2-n+4+\dfrac{-n+11}{n^2+n+3}$ である．

(i) $n=11$ のとき， $\dfrac{-n+11}{n^2+n+3}=0$ より適する．

(ii) $n\neq 11$ のとき， $-|n-11| \leqq n^2+n+3 \leqq |n-11|$ が必要である．

(a) $n\geqq 11$ のとき：
$11-n \leqq n^2+n+3 \leqq n-11$ から $0\leqq n^2+2n-8$ かつ $n^2 \leqq -14$ となり，これを満たす正の整数 $n$ は存在しない．

(b) $n\leqq 11$ のとき：
$n-11 \leqq n^2+n+3 \leqq 11-n$ から $0 \geqq (n+4)(n-2)$ かつ $n^2 \geqq -14$ となり，これを満たす正の整数 $n$ は $n=1，2$ である． $n=1，2$ のとき
$\dfrac{-n+11}{n^2+n+3}=2，1$ となりいずれも適する．

以上から $n=1，2，11$ となる．

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