https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2025/Bunkei_1

2025.03.02記

[1] 問１ $\quad$ $x，y，z$ は実数で ${2025}^x=3^y=5^z$ を満たすとする．このとき $2xy+4xz-yz=0$ であることを示せ．

2025.03.02記23:38:29

[解答]
$3^{4x}5^{2x}=3^y=5^z$ から $3^{4x-y}5^{2x}=3^{4x}5^{2x-z}=1$ なので
$3^{(4x-y)(2x-z)}5^{2x(2x-z)}=3^{8x^2}5^{2x(2x-z)}=1$
となり， $3^{(4x-y)(2x-z)-8x^2}=1$ から
$(4x-y)(2x-z)-8x^2=-(2xy+4xz-yz)=0$
が成立する．

注）同じことであるが， $\log_3 {2025}^x=\log_3 3^y=\log_3 5^z$ から， $4x+2x\log_3 5=y=z\log_3 5$ つまり
$4x-y＋2x\log_3 5=4x＋(2x-z)\log_3 5=0$
が成立するので， $\log_3 5$ を消去すると
$(4x-y)(2x-z)-8x^2=-(2xy+4xz-yz)=0$
が得られる．

[別解]
$2025^x=3^y=5^z=K$ とおくと $x\log_{10} 2025=y\log_{10} 3=z\log_{10} 5=\log_{10} K$ である．

$K=1$ のとき $x=y=z=0$ だから $2xy+4xz-yz=0$ である．

$K\neq 1$ のとき $x，y，z\neq 0$ であり，
$2xy-4xz-yz$ $=(xyz)\left(\dfrac{2}{z}+\dfrac{4}{y}-\dfrac{1}{x}\right)$ $=\dfrac{xyz}{\log_{10}K} (2\log_{10} 5+4\log_{10} 3-\log_{10} 2025)$ $=\dfrac{xyz}{\log_{10}K} \log_{10} \dfrac{5^2\cdot 3^4}{2025}$ $=\dfrac{xyz}{\log_{10}K} \log_{10} 1=0$
である．

2025.12.17記
1957年(昭和32年)京都大学-数学(解析Ｉ)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の類題