2025年(令和7年)京都大学-数学(文系)

[1] 次の各問に答えよ．
問１ は実数で
を満たすとする．このとき であることを示せ．

問２ が で割り切れるような正の整数 をすべて求めよ．

[2] 実数 についての次の条件(＊)を考える．

(＊) ある実数係数の2次式 と，ある実数 に対して， についての恒等式

が成り立つ．

この条件(＊)を満たす点 全体の集合を座標平面上に図示せよ．

[3] は正の整数とする．1枚の硬貨を投げ，表が出たら1，裏が出たら2と記録する．この試行を 回繰り返し，記録された順に数字を左から並べて 桁の数 を作る．ただし，数の表し方は十進数とする．このとき， が6で割り切れる確率を求めよ．

[4] 座標平面において，曲線 ，曲線 ，直線 を考える．

(1) 点 と異なる点で と接し，さらに とも接するような直線 がただ一つ存在することを示せ．

(2) と の共有点を とし，その 座標を とする．また， と の共有点を とし， と の共有点を とする．曲線 の の部分，線分 ，および線分 で囲まれる図形の面積を求めよ．

[5] 座標空間の4点 は同一平面上にないとする． は0でない実数とする．直線 上の点 ，直線 上の点 ，直線 上の点 を ，， が成り立つようにとる． が を満たす範囲であらゆる値をとるとき，3点 の定める平面 は， の値に無関係な一定の点を通ることを示せ．