https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2024/Rikei

2024.04.13記

[6] 自然数 $k$ に対して， $a_k=2^{\sqrt{k}}$ とする． $n$ を自然数とし， $a_k$ の整数部分が $n$ 桁であるような $k$ の個数を $N_n$ とする．また， $a_k$ の整数部分が $n$ 桁であり，その最高位の数字が $1$ であるような $k$ の個数を $L_n$ とする．次を求めよ．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{L_n}{N_n}$
ただし，例えば実数 $2345.678$ の整数部分 $2345$ は $4$ 桁で，最高位の数字は $2$ である．

本問のテーマ

ベンフォードの法則

2024.04.11記(2024/04/11/231445)

ベンフォードの法則
ベンフォードの法則 - Wikipedia

この話を始めて知ったのは，大学生のときに読んだ

作者:森毅
東京図書

である．新装版

作者:森毅
東京図書

も絶版っぽいが、そのうちちくま学芸文庫になりそうな気もする。

$n$ を十分大きい自然数として
$a_k=2^{\sqrt{k}}\approx 10^{n-1}$ ，
$a_{k+u}=2^{\sqrt{k+u}}\approx 2\cdot 10^{n-1}$ ，
$a_{k+v}=2^{\sqrt{k+v}}\approx 10^{n}$
なる $k，u，v$ に対して
$\dfrac{L_n}{N_n}\approx \dfrac{u}{v}$
である．常用対数として
$k\approx \dfrac{(n-1)^2}{(\log 2)^2}$ ，
$k+u\approx \dfrac{(n-1+\log 2)^2}{(\log 2)^2}$ ，
$k+v\approx \dfrac{n^2}{(\log 2)^2}$
であるから，
$\dfrac{u}{v}\approx \dfrac{(n-1+\log 2)^2-(n-1)^2}{n^2-(n-1)^2}$ $\dfrac{2(\log 2)(n-1)+(\log 2)^2}{2n-1}$ $\to\log 2$ （ $n\to\infty$ ）
となることがわかる．

2024.04.16記

[解答]
$a_{k}=2^{\sqrt{k}}\lt 10^{n-1}\leqq a_{k+1}$ ，
$a_{k+u}=2^{\sqrt{k+u}}\leqq 2\cdot 10^{n-1}\lt a_{k+u+1}$ ，
$a_{k+v}=2^{\sqrt{k+v}}\leqq 10^{n}\lt a_{k+v+1}$
なる $k，u，v$ に対して
$\dfrac{L_n}{N_n}=\dfrac{u}{v}$
である．常用対数として
$k\lt \dfrac{(n-1)^2}{(\log 2)^2}\leqq k+1$ ，
$k+u\leqq \dfrac{(n-1+\log 2)^2}{(\log 2)^2}\lt k+u+1$ ，
$k+v\leqq \dfrac{n^2}{(\log 2)^2}\lt k+v+1$
であるから，
$u-1\leqq \dfrac{(n-1+\log 2)^2}{(\log 2)^2}-\dfrac{(n-1)^2}{(\log 2)^2} \lt u+1$ ，
$v-1\leqq \dfrac{n^2}{(\log 2)^2}-\dfrac{(n-1)^2}{(\log 2)^2}\lt v+1$
つまり
$\dfrac{(n-1+\log 2)^2}{(\log 2)^2}-\dfrac{(n-1)^2}{(\log 2)^2}-1$ $\lt u$ $\leqq \dfrac{(n-1+\log 2)^2}{(\log 2)^2}-\dfrac{(n-1)^2}{(\log 2)^2}+1$ ，
$\dfrac{n^2}{(\log 2)^2}-\dfrac{(n-1)^2}{(\log 2)^2}-1$ $\lt v$ $\leqq \dfrac{n^2}{(\log 2)^2}-\dfrac{(n-1)^2}{(\log 2)^2}+1$
が成立する．
よって
$\dfrac{(n-1+\log 2)^2-(n-1)^2-(\log 2)^2}{n^2-(n-1)^2+(\log 2)^2}$
$\lt\dfrac{u}{v}$
$\lt\dfrac{(n-1+\log 2)^2-(n-1)^2+(\log 2)^2}{n^2-(n-1)^2-(\log 2)^2}$ ，
つまり
$\dfrac{2(\log 2)(n-1)}{2n-1+(\log 2)^2}$
$\lt\dfrac{u}{v}$
$\lt\dfrac{2(\log 2)(n-1)+2(\log 2)^2}{2n-1-(\log 2)^2}$ ，
が成立し，はさみうちの原理から
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{u}{v}=\log 2$
が成立する．対数の底は10であったから，求める極限は $\log_{10}2$ である．