https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2024/Rikei

2024.04.13記(2024/04/13/143507)

[3] 座標空間の4点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は同一平面上にないとする．線分 $\mbox{OA}$ の中点を $\mbox{P}$ ，線分 $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{Q}$ とする．実数 $x，y$ に対して，直線 $\mbox{OC}$ 上の点 $\mbox{X}$ と，直線 $\mbox{BC}$ 上の点 $\mbox{Y}$ を次のように定める．

$\overrightarrow{\mbox{OX}}=x\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BY}}=y\overrightarrow{\mbox{BC}}$

このとき，直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための $x，y$ に関する必要十分条件を求めよ．

本問のテーマ

ねじれの位置と四面体の体積
空間版のメネラウスの定理
3次元重心座標

2024.04.16記
直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は，4点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{X}$ ， $\mbox{Y}$ を同時に含む平面が存在しないことである．

これは $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であることと同値で，多くの解答は
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=s\overrightarrow{\mbox{PX}}+t\overrightarrow{\mbox{PQ}}$
をみたす $s，t$ が存在しない条件を求める方針になっているが，行列式を知っていれば
$\mbox{det}(\overrightarrow{\mbox{PQ}},\overrightarrow{\mbox{PX}},\overrightarrow{\mbox{PY}})\neq 0$
が必要十分条件であることがわかり，行列式の性質から機械的に求めることができる．

[大人の解答]
$\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は「四面体 $\mbox{PQXY}$ の体積が0でないこと」である．

$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\vec{p}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおき，四面体 $\mbox{PQXY}$ の体積を $V$ とすると
$6V=\left|\mbox{det}(\overrightarrow{\mbox{PQ}},\overrightarrow{\mbox{PX}},\overrightarrow{\mbox{PY}})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b},\overrightarrow{\mbox{OX}}-\vec{p},\overrightarrow{\mbox{BY}}-\overrightarrow{\mbox{BP}})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b},x\vec{c}-\vec{p},y(\vec{c}-\vec{b})-\vec{p}+\vec{b})\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}\mbox{det}(\vec{b}, x\vec{c}-\vec{p} ,-\vec{p}+(1-y)\vec{b}+y\vec{c})\right|$
$=\left|-\dfrac{x}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{c},\vec{p})-\dfrac{y}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\right|$
$=\left|\dfrac{x-y}{2}\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\right|$
であり， $\mbox{det}(\vec{b},\vec{p},\vec{c})\neq 0$ であるから，
$\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は $x\neq y$ である．

$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であるための必要十分条件を求める方針は次のようになる．
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=s\overrightarrow{\mbox{PX}}+t\overrightarrow{\mbox{PQ}}$
をみたす $s，t$ が存在しない条件を求めても良いが，
$\alpha\overrightarrow{\mbox{PQ}}+\beta\overrightarrow{\mbox{PX}}+\gamma\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\vec{0}$
と $\alpha=\beta=\gamma=0$ が同値となる必要十分条件を求めることにする．

[解答]
直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は，4点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{X}$ ， $\mbox{Y}$ を同時に含む平面が存在しないことであり，これは
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ が1次独立であることと同値である．

$\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおくと
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\dfrac{1}{2}\vec{b}$ ，
$\overrightarrow{\mbox{PX}}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}+x\vec{c}$ ，
$\overrightarrow{\mbox{PY}}=-\dfrac{1}{2}\vec{a}+(1-y)\vec{b}+y\vec{c}$
であるから
$\alpha\overrightarrow{\mbox{PQ}}+\beta\overrightarrow{\mbox{PX}}+\gamma\overrightarrow{\mbox{PY}}=\vec{0}$
は
$-\dfrac{\beta+\gamma}{2}\vec{a}+\dfrac{\alpha+2\gamma(1-y)}{2}\vec{b}+(\beta x+\gamma y)\vec{c}=\vec{0}$
と同値である．今， $\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ は1次独立であるから，
$\beta+\gamma=\alpha+2\gamma(1-y)=\beta x+\gamma y=0$
が成立する．よってこの条件が $\alpha=\beta=\gamma=0$ となる必要十分条件を求めれば良い．

$\beta+\gamma=\alpha+2\gamma(1-y)=\beta x+\gamma y=0$
は
$\gamma=-\beta$ ， $\alpha＝2\beta(1-y)=0$ ， $\beta (x-y)=0$
と同値だから，第3式より $x=y$ と仮定すると任意の $\beta\neq 0$ に対して，第1式と第2式から $\alpha，\gamma$ を求めることができてしまうので， $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PX}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PY}}$ は1次独立にならない．

よって $x\neq y$ が必要で，このとき
$\gamma=-\beta$ ， $\alpha＝2\beta(1-y)=0$ ， $\beta=0$
であるから， $\alpha=\beta=\gamma=0$ となり十分である．

よって求める必要十分条件は $x\neq y$ である．

2024.08.03記
空間版メネラウスを忘れてた．
2015年(平成27年)埼玉大学-数学(文系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
この証明をそのまま流用する．

[解答]
直線 $\mbox{OC}$ と直線 $\mbox{PQ}$ はねじれの位置にあるので， $\rm P,Q,X$ は同一直線上になないので $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{X}$ を含む平面は唯一であり，それが $xy$ 平面となるように座標を設定したときの各点の $z$ 座標を，例えば $\rm O$ の $z$ 座標は $O$ （ $O=0$ とは限らない）というように斜体で表すことにすると
$P=Q=X=0$ …①，
$O=-A=B$ …②，
$X=xC+(1-x)O$ …③，
$Y=yC+(1-y)B$ …④
が成立する．①②③より
$xC+(1-x)B=0$ …⑤，
②④より
$Y=yC+(1-y)B$ …⑥
であるから⑤⑥から
$Y=(y-x)(C-B)$
が成立する．

ここで $B=C$ と仮定すると，⑤より $B=C=0$ となり，②とあわせて $O=A=B=C=0$ となり， $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は同一平面上にないことに反するので， $B\neq C$ である．このとき，

直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にある ⇔ $Y$ が平面 $\rm PQX$ 上にない ⇔ $Y\neq 0$ ⇔ $y\neq x$

が成り立つ．よって求める必要十分条件は $y\neq x$

空間版メネラウスの定理を用いるときは $\dfrac{0}{0}$ の扱いに注意する必要がある場合があり，本問は
$\rm X，Y$ が線分の端点に来る場合もあり得るので注意が必要である．また，線分の外にある場合にも注意する．

[大人の解答]
空間版メネラウスの定理により（線分は有向線分と考えて符号付きとする．符号は平面 $\rm PQYX$ から見た高さに関して $\rm OP$ の向きが正( $\rm O$ の高さが負)となるように選ぶものとする）直線 $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にない必要十分条件は
$\dfrac{\mbox{OP}}{\mbox{PA}}\cdot\dfrac{\mbox{AQ}}{\mbox{QB}}\cdot\dfrac{\mbox{BY}}{\mbox{YC}}\cdot\dfrac{\mbox{CX}}{\mbox{XO}}$ $=\dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{-1}{-1}\cdot\dfrac{y}{1-y}\cdot\dfrac{x-1}{-x}=1$
となる．

ここで $x=0$ のときは $\dfrac{0}{0}=1$ と考え， $x\neq 1$ より $y=0$ ， $y=1$ のときは $\dfrac{0}{0}=1$ と考え， $y\neq 0$ より $x=1$ ，であるとする．

整理して $x\neq 0$ かつ $y\neq 1$ のとき $y(x-1)=-x(1-y)$ から $x=y$ となるが， $x=0$ または $y=1$ のときも $x=y$ となっている．

よって求める必要十分条件は $y\neq x$

[大人の解答]では平面 $\rm PQYX$ から見た高さに関して $\rm OP$ の向きが正( $\rm O$ の高さが負)となるように選んだが，逆に $\rm OP$ の向きが負( $\rm O$ の高さが正)となるように選んでも良い．

2024.09.06記
重心座標

[大人の解答]
$\mbox{O}(0,0,0,1)$ ， $\mbox{A}(1,0,0,0)$ ， $\mbox{B}(0,1,0,0)$ ， $\mbox{C}(0,0,1,0)$ なる重心座標において
$\mbox{P}\left(\dfrac{1}{2},0,0,\dfrac{1}{2}\right)$ ， $\mbox{Q}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0,0\right)$ ， $\mbox{X}(0,0,x,1-x)$ ， $\mbox{Y}(0,1-y,y,0)$
である．平面 $\rm PQX$ 上の点は
$\left(\dfrac{p+q}{2},\dfrac{q}{2},rx,r-rx+\dfrac{p}{2}\right)$ （ $p+q+r=1$ ）
とかけるので， $\mbox{QY}$ と直線 $\mbox{PX}$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は
$\left(\dfrac{p+q}{2},\dfrac{q}{2},rx,r-rx+\dfrac{p}{2}\right)=(0,1-y,y,0)$
をみたす実数 $p,q,r$ （ $p+q+r=1$ ）が存在しないことである．

まず，存在するための必要十分条件を考える．

第1，2成分の比較により
$p=2y-2，q=2-2y，r=1$
が必要で，このとき
$(0,1-y,x,y-x)=(0,1-y,y,0)$
が成立すれば必要十分となる．よって第3，4成分から $x=y$ となるので，これが存在するための必要十分条件である．よってねじれの位置となる必要十分条件は $x\neq y$ である．