2024年(令和6年)京都大学-数学(理系)

[1] 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を とする．次の問いに答えよ．

(1) を求めよ．

(2) を求めよ．

[2] を満たす複素数 と， を満たす複素数 に対して， とする．このような複素数 が複素数平面において動く領域を図示し，その面積を求めよ．

[3] 座標空間の4点 ， ，， は同一平面上にないとする．線分 の中点を ，線分 の中点を とする． 実数 に対して，直線 上の点 と，直線 上の点 を次のように定める．

，

このとき，直線 と直線 がねじれの位置にあるための に関する必要十分条件を求めよ．

[4] 与えられた自然数 に対して，自然数からなる数列 を次のように定める．

次の問いに答えよ．

(1) がすべて奇数であるような最小の自然数 を求めよ．

(2) がすべて奇数であるような最小の自然数 を求めよ．

[5] は を満たす定数とする．座標平面上で，次の つの不等式が表す領域を とする．
，，，
次の問いに答えよ．

(1) の面積 を求めよ．

(2) を求めよ．

[6] 自然数 に対して， とする． を自然数とし， の整数部分が 桁であるような の個数を とする．また， の整数部分が 桁であり，その最高位の数字が であるような の個数を とする． 次を求めよ．

ただし，例えば実数 の整数部分 は 桁で，最高位の数字は である．