https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2024/Bunkei

2025.04.07記

[5] 関数 $y=x^2-4x+5$ のグラフの $x\gt 1$ の部分を $C$ とする．このとき，下の条件を満たすような正の実数 $a$ ， $b$ について，座標平面の点 $(a，b)$ が動く領域の面積を求めよ．

「 $C$ と直線 $y=ax+b$ は二つの異なる共有点を持つ．」

本問のテーマ

包絡線

2025.04.07記

[解答]
$x^2-(a+4)x+5-b=0$ が相異2実解をもち，ともに $x\gt 1$ なる条件を求めれば良く， $t=x-1$ とおくと　 $t^2-(a+2)t-a+2-a-b=0$ が相異2実解をもち，ともに $t\gt 0$ なる条件を求めれば良い．

よって解の和と積が正であることから $a+2\gt 0$ ， $2-a-b\gt 0$ ，
判別式が正であることから $b\gt -\dfrac{1}{4}(a^2+8a-4)$ である．これと $a\gt 0$ ， $b\gt 0$ の全てを満たす領域を図示すれば良い（図示略）．

このとき，求める面積は
$2-\displaystyle\int_0^{2\sqrt{5}-4}\left\{-\dfrac{1}{4}(a^2+8a-4)\right\}\,da$
$2-\displaystyle\int_0^{2\sqrt{5}-4}\left\{5-\dfrac{(a+4)^2}{4}\right\}\,da$ $=2-\displaystyle\int_4^{2\sqrt{5}}\left\{5-\dfrac{a^2}{4}\right\}\,da$ $=2-5(2\sqrt{5}-4)-\Bigl[\dfrac{a^3}{12}\Bigr]_4^{2\sqrt{5}}$ $=22-10\sqrt{5}-\dfrac{8(5\sqrt{5}-8)}{12}$ $=\dfrac{10(5-2\sqrt{5})}{3}$
となる．

$ab$ -平面において放物線 $b=-\dfrac{1}{4}(a^2+8a-4)$ と直線 $b=-x(a+4)+x^2+5$ は $a=-\dfrac{x}{2}$ で接する．このとき放物線 $b=-\dfrac{1}{4}(a^2+8a-4)$ は直線群 $b=-x(a+4)+x^2+5$ の包絡線であるという．