https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2024/Bunkei

2025.04.07記

[4] ある自然数を八進法，九進法，十進法でそれぞれ表したとき，桁数がすべて同じになった．このような自然数で最大のものを求めよ．ただし，必要なら次を用いてもよい． $0.3010\lt\log_{10}2\lt0.3011$ ， $0.4771\lt \log_{10}3\lt 0.4772$

2025.04.07記
対数の値を近似値ではなく不等式で与えられていることに注意する．

[解答]
ある自然数を $N$ とし，その桁数を $n+1$ とすると
$8^n\leqq N\lt 8^{n+1}$ ， $9^n\leqq N\lt 9^{n+1}$ ， $10^n\leqq N\lt 10^{n+1}$
が成立するので
$10^n\leqq N\lt 8^{n+1}$
が成立する．つまり
$n\leqq \log_{10} N\lt 3(n+1)\log_{10} 2\lt 0.9031(n+1)$
が成立する．よって $0.0969 n \lt 0.9031$ ，つまり $n\lt \dfrac{9031}{969}$ が必要である．この右辺は $9$ と $10$ の間の数であるから $n\leqq 9$ が必要である．ここで $\log_{10} 2$ の値を右側の不等式でしか評価していないので， $n=9$ のときに $n\leqq \log_{10} N\lt 3(n+1)\log_{10} 2$ が成立するかどうかはまだ分からないので左側の不等式を考慮して $n=9$ となれるか確認すると
$\log_{10} 10^9 \lt 9.030\lt 30\log_{10} 2$
であるから，確かに $n=9$ となることができる．

よって $N$ は10桁にまでなることができ，そのときの最大値は $8^{10}-1=2^{30}-1$ となる．

曽呂利新左衛門の話（将棋盤の場合と一ヶ月の場合があって一ヶ月の場合の方）から意外と $2^{30}=1073741824$ を覚えている人がいて，その場合，求める答は $1073741823$ となる．