https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2024/Bunkei

2025.04.07記

[3] $a$ は正の定数とする．次の関数の最大値を求めよ．

$f(x)=\left| x^2-\left( ax+\dfrac{3}{4}a^2 \right) \right| +ax+\dfrac{3}{4}a^2$ （ $-1 \leqq x \leqq 1$ ）

2025.04.07記

[解答]
$f(x)=\left| \left(x+\dfrac{a}{2}\right)\left(x-\dfrac{3a}{2}\right)\right| +ax+\dfrac{3}{4}a^2$ $=\left\{\begin{array}{ll} x^2 & (x\leqq-\dfrac{a}{2}，\dfrac{3a}{2}\leqq x) \\ -(x-a)^2+\dfrac{5a^2}{2} & (-\dfrac{a}{2}\leqq x\leqq \dfrac{3a}{2}) \end{array}\right.$
であるから，増減表は

$x$	$\cdots$	$-\dfrac{\sqrt{10}a}{2}$	$\cdots$	$-\dfrac{a}{2}$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$\dfrac{3a}{2}$	$\cdots$	$\dfrac{\sqrt{10}a}{2}$	$\cdots$
$f(x)$	$\searrow$	$\dfrac{5a^2}{2}$	$\searrow$	$\dfrac{a^2}{4}$	$\nearrow$	$\dfrac{5a^2}{2}$	$\searrow$	$\dfrac{9a^2}{4}$	$\nearrow$	$\dfrac{5a^2}{2}$	$\nearrow$

となる．よって最大値は
$0\lt a\leqq\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ のとき $f(-1)=f(1)=1$ ，
$\dfrac{\sqrt{10}}{2}\leqq a\leqq 1$ のとき $f(a)=\dfrac{5a^2}{2}$ ，
$1\leqq a\leqq 2$ のとき $\max\{f(-1)，f(1)\}=\max\{1，\dfrac{3}{2}a^2+2a+1\}=\dfrac{3}{2}a^2+2a-1$ ，
$2\leqq a$ のとき $\max\{f(-1)，f(1)\}=f(1)=\dfrac{3}{2}a^2+2a-1$
となる．

端点と極大値で考えると次のようになる．

$x$	$\cdots$	$-\dfrac{a}{2}$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$\dfrac{3a}{2}$	$\cdots$
$f(x)$	$\searrow$	$\dfrac{a^2}{4}$	$\nearrow$	$\dfrac{5a^2}{2}$	$\searrow$	$\dfrac{9a^2}{4}$	$\nearrow$

となり，最大値は $f(-1)$ ， $f(1)$ ， $f(a)$ （ $0\lt a\leqq 1$ ）のいずれかで，
$f(-1)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (0\lt a\leqq 2) \\ \dfrac{3a^2}{2}-2a-1 & (a\geqq 2) \end{array}\right.$ ，
$f(1)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (0\lt a\leqq \dfrac{2}{3}) \\ \dfrac{3a^2}{2}+2a-1 & (a\geqq \dfrac{2}{3}) \end{array}\right.$
であるから
$\left\{\begin{array}{ll} 1 & (0\lt a\leqq 2) \\ \dfrac{3a^2}{2}-2a-1 & (a\geqq 2) \\ 1 & (0\lt a\leqq \dfrac{2}{3}) \\ \dfrac{3a^2}{2}+2a-1=\dfrac{5a^2}{2}-(a-1)^2 & (a\geqq \dfrac{2}{3}) \\ \dfrac{5a^2}{2} & (0\lt a\leqq 1) \end{array}\right.$
の最大値を選べば良い．常に $\dfrac{3a^2}{2}-2a-1\lt \dfrac{3a^2}{2}+2a-1$ であることなどを用いて整理すると
$\left\{\begin{array}{ll} 1 & (0\lt a\leqq \dfrac{\sqrt{10}}{2}) \\ \dfrac{5a^2}{2} & (\dfrac{\sqrt{10}}{2}\leqq a\leqq 1) \\ \dfrac{3a^2}{2}+2a-1=\dfrac{5a^2}{2}-(a-1)^2 & (a\geqq 1) \end{array}\right.$
となる．