https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2024/Bunkei

2025.04.07記

[2] $n$ 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする．次の問いに答えよ．

(1) $p_3$ を求めよ．

(2) $p_4$ を求めよ．

[解答]
同じ色を用いることができるのは向い合う面だけである．

(1) 3組の向い合う面をどの色で塗るかであるから，塗り方は $3!$ 通りあるので， $p_3=\dfrac{3!}{3^6}=\dfrac{2}{243}$ となる．

(2) 4色中3色を用いる塗り方は $4\cdot 3!=4!$ 通りある．

4色全て用いるとき，1組の向い合う面が2色で残りの向い合う面は1色で塗ることになるので，どの向い合う面を2色で塗るかを選ぶ3通りに対して塗り方はそれぞれ $4!$ 通りあるので合計 $3\cdot 4!$ 通りある．

以上から $p_4=\dfrac{4\cdot 4!}{4^6}=\dfrac{3}{128}$ となる．

[別解]
(1) 頂点に集まる3つの面は異なる色となるので，ある頂点の回りの3色が決まれば残りの面の色も決まるので， $p_3=\dfrac{3!}{3^6}=\dfrac{2}{243}$ となる．