https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2024/Bunkei

2025.04.07記

[1] 四面体 $\mbox{OABC}$ が次を満たすとする．
$\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=1$ ， $\angle\mbox{COA}=\angle\mbox{COB}=\angle\mbox{ACB}$ ， $\angle\mbox{AOB}={90}^{\circ}$

このとき，四面体 $\mbox{OABC}$ の体積を求めよ．

2025.04.07記
$\angle\mbox{AOB}={90}^{\circ}$ なので座標を設定する．

[解答]
$\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(1，0，0)$ ， $\mbox{B}(0，1，0)$ ， $\mbox{C}(x，y，z)$ （ $z\gt 0$ ）とおくと
$x^2+y^2+z^2=1$ であり，
$\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}=x$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}=y$ ， $\overrightarrow{\mbox{CA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{CB}}=x(x-1)+y(y-1)+z^2$
であるから
$x=y=\dfrac{x(x-1)+y(y-1)+z^2}{\sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}\sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}}$
が成立する．よって $x=y$ から
$2x^2+z^2=1$ …①， $x=\dfrac{2x(x-1)+z^2}{(x-1)^2+x^2+z^2}$ $=\dfrac{1-2x}{2-2x}$ …②
が成立する．①から $2x^2-4x+1=0$ ，つまり $x=\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}$ となるが①より $x^2\lt\dfrac{1}{2}$ だから $x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$ となり $z^2=1-2x^2=2-4x=2\sqrt{2}-2$ となる．

よって $z=\sqrt{2\sqrt{2}-2}$ だから，四面体 $\mbox{OABC}$ の体積は $\dfrac{1}{3}\cdot\triangle\mbox{OAB}\cdot z$ $=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{6}$ となる．