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2023-11-23

2023年(令和5年)京都大学-数学(理系)[1]問１

2023.11.23記

[1] 問１定積分 $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \log (x^2) dx$ の値を求めよ．

2023.11.23記

[解答]
$t^2=x$ と置換すると $2tdt=dx$ であり，
$I=\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \log (x^2) dx$ $=\displaystyle \int_1^2 8t^2 \log t dt$
となる．さらに $t=e^u$ と置換すると $dt=e^u du$ で
$I=\displaystyle \int_0^{\log 2} 8 u e^{3u} du$ $=8\left[ \left(\dfrac{u}{3}-\dfrac{1}{9}\right)e^{3u} \right]_0^{\log 2}$ $=8\left\{ \left(\dfrac{\log 2}{3}-\dfrac{1}{9}\right)\cdot 8 +\dfrac{1}{9}\right\}$ $=\dfrac{8(24\log 2-7)}{9}$
となる．

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