https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2023/Rikei

2023.11.23記

[1] 次の各問に答えよ．
問１定積分 $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \log (x^2) dx$ の値を求めよ．

問２整式 $x^{2023}-1$ を整式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りを求めよ．

[2] 空間内の4点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は同一平面上にないとする．点 $\mbox{D}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を次のように定める．点 $\mbox{D}$ は $\overrightarrow{\mbox{OD}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}}+3\overrightarrow{\mbox{OC}}$ を満たし，点 $\mbox{P}$ は線分 $\mbox{OA}$ を $1:2$ に内分し，点 $\mbox{Q}$ は線分 $\mbox{OB}$ の中点である．さらに，直線 $\mbox{OD}$ 上の点 $\mbox{R}$ を，直線 $\mbox{QR}$ と直線 $\mbox{PC}$ が交点を持つように定める．このとき，線分 $\mbox{OR}$ の長さと線分 $\mbox{RD}$ の長さの比 $\mbox{OR}:\mbox{RD}$ を求めよ．

[3] $n$ を自然数とする．1個のさいころを $n$ 回投げ，出た目を順に $X_1, \, X_2, \, \cdots\cdots, \, X_n$ とし， $n$ 個の数の積 $X_1 X_2 \cdots \cdots X_n$ を $Y$ とする．

(1) $Y$ が5で割り切れる確率を求めよ．

(2) $Y$ が15で割り切れる確率を求めよ．

[4] 次の関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ．
$f(x)=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1+\dfrac{1}{ \displaystyle e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1 }$
$(-1 \leqq x \leqq 1)$
ただし， $e$ は自然対数の底であり，その値は $e=2.71\cdots\cdots$ である．