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2022年(令和4年)京都大学-数学(理系)[3]

2022.02.27記

[3] $n$ を自然数とする． $3$ つの整数が $n^2+2,n^4+2,n^6+2$ の最大公約数 $A_n$ を求めよ．

2022.02.27記

[解答]
$\mbox{mod}\,n^2+2$ で
$n^4+2\equiv (-2)^2+2=6$ ， $n^6+2\equiv (-2)^3+2=-6$
であるから， $A_n=\mbox{gcd}(n^2+2,6)$ である．よって

$n\equiv0$ （ $\mbox{mod}\,6$ ）のとき $A_n=2$ ，
$n\equiv1$ （ $\mbox{mod}\,6$ ）のとき $A_n=3$ ，
$n\equiv2$ （ $\mbox{mod}\,6$ ）のとき $A_n=6$ ，
$n\equiv3$ （ $\mbox{mod}\,6$ ）のとき $A_n=1$ ，
$n\equiv4$ （ $\mbox{mod}\,6$ ）のとき $A_n=6$ ，
$n\equiv5$ （ $\mbox{mod}\,6$ ）のとき $A_n=3$
となる。

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