https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2022/Rikei

2022.02.27記

[2] 箱の中に $1$ から $n$ までの番号がついた $n$ 枚の札がある．ただし $n\geqq 5$ とし，同じ番号の札はないとする．この箱から $3$ 枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に $X,Y,Z$ とする．このとき， $Y-X\geqq 2$ かっ $Z-Y\geqq 2$ なる確率を求めよ．

2022.02.27記

[解答]

$X'=X$ ， $Y'=Y-1$ ， $Z'=Z-2$ とおくと，条件は $X'\lt Y'\lt Z'$ となり，このようになる場合の数は $1$ から $n-2$ までのカードから $3$ 枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に $X',Y',Z'$ としたものと一対一に対応するので ${}_{n-2}\mbox{C}_3$ 通りである．

よって求める確率は $\dfrac{{}_{n-2}\mbox{C}_3}{{}_{n}\mbox{C}_3}$ である．