https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2022/Rikei

2022.02.27記

[1] $5.4 \lt \log_4 2022 \lt 5. 5$ であることを示せ．ただし， $0.301 \lt \log_{10} 2 \lt 0. 3011$ であることは用いてよい．

2022.02.27記
とりあえず $2000\lt 2022 \lt 2048$ に気がつきたい。

[解答]
$\log_4 2022 \lt \log_4 2048 = \log_4 4^{5.5}=5.5$ である．

また， $\dfrac{10}{33}=0.3030\cdots \gt \log_{10} 2$ により
$\log_4 2022 \gt \log_4 2000$ $= \dfrac{\log_{10} 2000}{\log_{10} 4}$ $= \dfrac{3+\log_{10} 2}{2\log_{10} 2}$
$=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{3}{\log_{10} 2}\right)$ $\gt\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{3}{10/33}\right)$
$=\dfrac{1}{2}(1+9.9)=5.45\gt 5.4$ である．

$\dfrac{10}{33}=0.3030\cdots \gt \log_{10} 2$ という評価は， $\dfrac{3}{\log_{10} 2}$ がなるべく簡単になるような有理数を考えると，思いつくのはそれほど困難ではないだろう。