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2022年(令和4年)京都大学-数学(文系)[2]

2022.03.05記

[2] 下図の三角柱 $\rm ABC$ - $\rm DEF$ において， $\rm A$ を視点として，辺に沿って頂点を $n$ 回移動する．すなわち，この移動経路
${\rm P}_0\to{\rm P}_1\to{\rm P}_2\to\cdots\to{\rm P}_{n-1}\to{\rm P}_n$ （ただし ${\rm P}_0={\rm A}$ ）
において， ${\rm P}_0{\rm P}_{1}$ ， ${\rm P}_1{\rm P}_{2}$ ，…， ${\rm P}_{n-1}{\rm P}_{n}$ はすべて辺であるとする．また，同じ頂点を何度通ってもよいものとする．このような移動経路で，終点 $\rm A,B,C$ にいずれかとなるものの総数 $a_n$ を求めよ．

2022.03.05記

[解答]
終点 $\rm P,Q,R$ のいずれかとなるものの総数を $b_n$ とすると，
$a_{n+1}=2a_n+b_n$ ， $b_{n+1}=a_n+2b_n$ ， $a_1=2$ ， $b_1=1$
が成立する．
$a_{n+1}+b_{n+1}=3(a_n+b_n)$ から $a_n+b_n=3^n$ ，
$a_{n+1}-b_{n+1}=a_n-b_n$ から $a_n-b_n=1$
だから， $a_n=\dfrac{3^n+1}{2}$

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