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2021-03-09

2021年(令和3年)京都大学-数学(理系)[6]問１

[6] 問１ $n$ を2以上の整数とする． $3^n - 2^n$ が素数ならば $n$ も素数であることを示せ．

2021.03.09記

[解答]
$n$ が合成数 $pq（2\leqq p\leqq q）$ であるとすると
$3^n-2^n$ $=(3-2) \Bigl(\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1} 3^{p-1-i} 2^{i} \Bigr) \Bigl(\displaystyle\sum_{j=0}^{q-1} 3^{p(q-1-j)} 2^{pj} \Bigr)$
となるが，
$\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1} 3^{p-1-i} 2^{i}\geqq 3+2=5$ ，
$\displaystyle\sum_{j=0}^{q-1} 3^{p(q-1-j)} 2^{pj}\geqq 3^p+2^p\geqq 3^2+2^2=13$
により， $3^n-2^n$ は合成数となるので，その対偶から題意は証明された．

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