https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2021/Rikei_1

[1] 問２赤玉，白玉，青玉，黄玉が1個ずつ入った袋がある．よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し，その玉の色を記録してから袋に戻す．この試行を繰り返すとき， $n$ 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ．ただしnは4以上の整数とする．

2021.02.14記

[解答]
$n-1$ 回目までに白，青，黄だけが少くとも1回以上ずつ出る場合の数を求める．

$n-1$ 回目までに白，青，黄の1色だけが出る場合の数は $3$ 通りである．

$n-1$ 回目までに白，青，黄のうち2色以下が出る場合の数は $3\cdot 2^{n-1}$ 通りだから， $n-1$ 回目までに白，青，黄のうちちょうど2色が出る場合の数は $3\cdot 2^{n-1}-3$ 通りである．

$n-1$ 回目までに白，青，黄の3色以下が出る場合の数は $3^{n-1}$ 通りだから， $n-1$ 回目までに白，青，黄のうちちょうど3色が出る場合の数は $3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3$ 通りである．

また， $n$ 回目に赤が出るのは1通りであるから，題意をみたす場合の数は $3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3$ 通りであり，よって求める確率は
$\dfrac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}$ となる．