2021年(令和3年)京都大学-数学(理系)

[1] 次の各問に答えよ.
問１ 空間の3点，， を通る平面 に関して点 と対称な点 の座標を求めよ．ただし，点 が平面 に関して と対称であるとは，線分 の中点 が平面 上にあり，直線 が から平面 に下ろした垂線となることである．

問２ 赤玉，白玉，青玉，黄玉が1個ずつ入った袋がある．よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し，その玉の色を記録してから袋に戻す．この試行を繰り返すとき， 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ．ただしnは4以上の整数とする．

[2] 曲線 上の点 における接線は 軸と交わるとし，その交点を とおく．線分 の長さを とするとき， が取りうる値の最小値を求めよ．

[3] 無限級数 の和を求めよ．

[4] 曲線 の の部分の長さを求めよ．

[5] 平面において，2点 ． に対し．点 は次の条件(*)を満たすとする．

かつ点 の 座標は正．

次の各問に答えよ．

(1) の外心の座標を求めよ．

(2) 点 が条件 を満たしながら動くとき， の垂心の軌跡を求めよ．

[6] 次の各問に答えよ．

問１ を2以上の整数とする． が素数ならば も素数であることを示せ．

問２ を1より大きい定数とする．微分可能な関数 が を満たすとき，曲線 の接線で原点 を通るものが存在することを示せ．