2021年(令和3年)京都大学-数学(文系)[2]

[2] 定積分 $\displaystyle\int_{-1}^1 \Bigl|x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\Bigr|dx$ を求めよ．

2021.03.09記

[解答]

$f(x)=x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$ ， $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x$ とおく．

$f(x)=(x-1)\Bigr(x+\dfrac{1}{2}\Bigr)$ であるから，
$\displaystyle\int_{-1}^1 \Bigl|x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\Bigr|dx$
$=\displaystyle\int_{-1}^{-1/2} f(x)dx-\displaystyle\int_{-1/2}^{1} f(x) dx$
$=2F\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)-F(1)-F(-1)=\dfrac{19}{42}$
となる．

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