https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2021/Bunkei_1

[1] 問２ $\triangle{\rm OAB}$ において $\rm OA = 3$ ， $\rm OB = 2$ ， $\angle\rm AOB = 60^{\circ}$ とする． $\triangle\rm OAB$ の垂心を $\rm H$ とするとき， $\overrightarrow{\rm OH}$ を $\overrightarrow{\rm OA}$ と $\overrightarrow{\rm OB}$ を用いて表せ．

2021.03.09記
「内積は正射影の符号つき長さ」と考えると
$\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}$ $=\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OH}$ $=\overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm OA}$
がすぐにわかる．

[解答]
条件より $\overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}=3\cdot2\cdot\cos 60^{\circ}=3$ である．

$\overrightarrow{\rm OH}=\alpha \overrightarrow{\rm OA}+\beta \overrightarrow{\rm OB}$ とおくと，
$\overrightarrow{\rm OH}\cdot (\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA})=0$ ， $\overrightarrow{\rm OB}\cdot (\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA})=0$
であるから
$\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}$ $=\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OH}$ $=\overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm OA}$
が成立する．よって， $3=3\alpha+4\beta=9\alpha+3\beta$ となり， $\alpha=\dfrac{1}{9}$ ， $\beta=\dfrac{2}{3}$ となる．

よって $\overrightarrow{\rm OH}=\dfrac{1}{9}\overrightarrow{\rm OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}$ である．