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2020年(令和2年)京都大学数学(理系)[6]

[6] $x, \, y, \, z$ を座標とする空間において， $xz$ 平面内の曲線 $z=\sqrt{\log \, (1+x)} \quad (0 \leqq x \leqq 1)$ を $z$ 軸のまわりに1回転させるとき，この曲線が通過した部分よりなる図形を $S$ とする．この $S$ をさらに $x$ 軸のまわりに1回転させるとき， $S$ が通過した部分よりなる立体を $V$ とする．このとき， $V$ の体積を求めよ．

2020.03.02記

[解答]

$f(x)=\sqrt{\log(1+x)}$ とする。

$xz$ 平面において、 $(t,0)$ と $z=f(x)$ ( $t\leqq x\leqq 1$ )上の距離の最小は $x=t$ ，最大は $x=1$ のときに与えられるので、 $z=f(x)$ を $z$ 軸にまわりに回転してできる曲面と $x=t$ の断面において、 $(t,0,0)$ との距離の
最小値は $(t,0,f(t))$ との距離 $f(t)$ であり、
最大値は $(t,\pm\sqrt{1-t^2},f(1))$ との距離 $\sqrt{1-t^2+\{f(1)\}^2}$ である．

よって求める体積 $V$ は
$V=\displaystyle 2\pi \int_0^1 \{ 1-t^2 +\log 2 -\log(1+t) \}dt$ $=\dfrac{2\pi}{3}(5-3\log 2)$

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